Die Rechenoperation der Polynomdivision bereitet Schülern anfangs meist viele Probleme. Diese wird für verschiedene komplexe Rechenverfahren benötigt und kommt als neuer Lehrstoff in höheren Klassen, etwa ab der 10. Klasse, hinzu. Doch dabei sind viele Probleme unbegründet, denn Polynomdivision ist der schriftlichen Division aus dem Lehrplan der Grundschule sehr ähnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sowohl Divident, Divisor als auch das Ergebnis Polynome beinhalten.

Anwendungsgebiete

Die Polynomdivision ist in mehreren Gebieten der Analysis, insbesondere der Kurvendiskussion von Funktionen höheren Grades, von Bedeutung:

  •  zum Errechnen schräger Asymptoten
  • beim Lösen von Gleichungen höheren Grades, wo das Ausklammern von „x“ nicht möglich ist
  • zur Nullstellenberechnung
  • bei der Partialbruchzerlegung

Rechenweise

Tauchen bei der Kurvendiskussion Funktionen mit x-Werten in der dritten oder einer höheren Potenz auf, kann die Lösungsformel zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen nicht angewendet werden.
Um diese benutzen zu können, muss der Grad der Gleichung vorher um ein oder mehrere Grade gesenkt werden. Dazu wird zunächst durch Probieren eine mögliche Nullstelle der Funktion gesucht. Diese wird zur Bildung des Divisors der Polynomdivision benötigt. Als Divisor gilt immer der Term „(x – Nullstelle)„, durch den die Ausgangsfunktion geteilt wird.

Zur Durchführung der Polynomdivision schreibt man die Operation Divident durch selbst erstellten Divisor auf eine Zeile. Zuerst wird die höchste Potenz der Funktion durch das „x“ des Divisors geteilt (aus einem „x“ in der dritten Potenz wird beispielsweise dadurch „x“ zum Quadrat). Zur Rückrechnung wird das erhaltene Ergebnis mit dem gesamten Divisor mal genommen und dieser Term unter die entsprechenden „x-Werte“ des Dividenten geschrieben. Das neue Ergebnis, der sogenannte „Rest„, wird von der bisherigen Funktion subtrahiert. Diese neu erhaltene Funktion dient als Ausgang für eine weitere Polynomdivision der Aufgabe.
Hat man alle Glieder durch den Divisor geteilt, bleibt bei der Nullstellenberechnung kein Rest übrig. Die errechnete Funktion im Ergebnis kann danach durch erneute Polynomdivision weiterhin vermindert werden oder anhand der quadratischen Lösungsformel gelöst werden.
Die Partialbruchzerlegung ist eine besondere Schreibweise rationaler Funktionen, wodurch Polstellen oder Lücken auftreten. Bei komplexen Nennern wird die Polynomdivision angewendet, um die Funktion zu vereinfachen. Genauso wie zur Errechnung der schrägen Asymptote, dient dazu der Nenner als Divisor und der Zähler als Divident. Dabei kann ein Rest auftreten. Dieser wird hinter das Ergebnis als „unbestimmter Ausdruck (ein Bruch mit dem Rest als Zähler und dem Divisor als Nenner)“ geschrieben. Beim Angeben der schrägen Asymptote wird dieser Rest nicht aufgeführt, da sich dieser „unbestimmte Ausdruck“ für unendlich große „x-Werte“ gegen „null“ läuft.