Der Koeffizientenvergleich ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik und hat seine Grundlagen in der sogenannten linearen Algebra. Wie der Name zum Teil schon verrät, dient er der Koeffizientenbestimmung bei linear unabhängigen Funktionen.

Lineare Unabhängigkeit

Ausgangspunkt für den Koeffizientenvergleich ist die sogenannte lineare Unabhängigkeit:

Zwei Funktionen f(x) und g(x) sind linear unabhängig, wenn für alle x, die in die Funktionen eingesetzt werden können,

a*f(x) + b*g(x) = 0

nur dann gelten kann, wenn

a = b = 0

Um diese Aussage besser zu verstehen, hier ein kleines Beispiel:

Aussage:

f(x) = sin(x)

und

g(x) = sin(2x)

sind linear unabhängig.

Beweis:

zunächst setzen wir x = PI/2

  • ? sin(2*PI/2) = 0
  • ? a*sin(PI/2)+b*sin(2*PI/2)=0
  • ? a*sin(PI/2)=0,

also ist a=0.
Nun soll unsere Gleichung aber für alle x gelten, also:

  • b*sin(x/2) = 0
  • ? b = 0

Wichtig ist, dass die Koeffizienten, wenn man sie einmal mit einem speziellen Wert von x festgestellt hat, für alle anderen x auch gelten müssen.

Koeffizientenvergleich: Vorgehensweise

Besonders bei der Partialbruchzerlegung ist man oft vor folgendes Problem gestellt:
Man muss die Koeffizienten eines Polynoms herausfinden, indem man zwei Ansätze miteinander vergleicht.
Dabei nutzt man nun die lineare Unabhängigkeit der Potenzfunktionen aus.
Am besten ist die Vorgehensweise an einem Beispiel darstellbar:

Seien

P(x) = 3x^2 + ax + b
Q(x) = bx^2 + 11 +c

zwei Polynome.
Nun wollen wir die Koeffizienten so bestimmen, dass beide Polynome gleich sind. Dazu setzten wir diese gleich:

P(x) = Q(x)
? 3x^2 + ax +b = bx^2 + 11 + c

und formen um:

? (3-b)x^2 + (a-0)x + b – 11 – c = 0

Nun wissen wir aber, dass diese Gleichung nur erfüllt sein kann, wenn die Koeffizienten vor den einzelnen Potenzfunktionen (x^0 = 1, x^1 = x, x^2) gleich null werden. Deshalb erhalten wir drei Gleichungen:

(I) 3 – b = 0 (Koeffizientenvergleich für x^2)
(II) a – 0 = 0 (Koeffizientenvergleich für x^1)
(III) b – 11 – c = 0 (Koeffizientenvergleich für x^0)

Diese Gleichungen stellen ein lineares Gleichungssystem dar, welches einfach gelöst werden kann.

? b = 3, a = 0, c = -8

Sobald man also, wie im Fall der Partialbruchzerlegung, vor die Aufgabe gestellt ist, die Koeffizienten von Polynomen oder, im Allgemeinen, von linear unabhängigen Funktionen herauszufinden, ist ein Koeffizientenvergleich gefordert. Damit kann die Problemstellung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt werden, welches einfach gelöst werden kann (falls dies möglich ist, da für eine Anzahl n verschiedener Variablen auch n Gleichungen vorhanden sein müssen, um diese eindeutig bestimmen zu können).