Gebrochenrationale Funktionen integrieren – die Partialbruchzerlegung macht es möglich

Die im Jahre 1800 aufkommende Partialbruchzerlegung dient als Integrationsverfahren von gebrochen rationaler Funktionen. In der Technik wird sie meist für Laplace-Transformationen sowie für so genannte z-Transformationen benötigt.
Nach Anwendung ihrer auf eine gebrochen rationale Funktion, lässt sich diese integrieren. Dabei sind jedoch nur die echt gebrochenrationalen Funktionen von bedeutender Rolle. Denn unecht gebrochenrationale Funktionen – Nennergrad kleiner/gleich Zählergrad – kann mit Hilfe der Polynomdivision zerlegt werden und somit einfach integriert werden.

Weshalb benötigt man die Partialbruchzerlegung bei der Integration?

Hat man also eine echt gebrochenrationale Funktion – also einen Quotient zweier ganzrationaler Funktionen, wobei die Funktion im Nenner einen höheren Funktionsgrad, als die Funktion im Zählergrad, hat.
Möchte man nun solch eine Funktion integrieren – also die Stammfunktion von ihr bilden – so kommt die Partialbruchzerlegung ins Spiel. Mit Hilfe dieser wird versucht den Funktionsterm – den Quotienten der zwei rationalen Funktionen – in eine Summe von rationalen Funktionen zu zerlegen. Dabei sollten die Nenner dann möglichst einfach sein, damit diese schön integriert werden können.

Die Anwendung der Partialbruchzerlegung bei einer echt gebrochenrationalen Funktion
Zunächst müssen hier die Nullstellen der Nennerfunktion ermittelt werden, um die echt gebrochenrationale Funktion schließlich in ihre Partialbrüche aufgliedern zu können.
Diese sind ganz einfach mit dem Ansatz „Nennerfunktion = 0“ mit den herkömmlichen Methoden aus der Mathematik zu bestimmen (Eventuell Polynomdivision und anschließend die Mitternachtsformel zur Lösung einer quadratischen Gleichung, Ausklammern…).

Anschließend, wenn man genau weiß wieviele Nullstellen die Nennerfunktion hat und vor allem von welcher Art diese sind, kann die Nennerfunktion als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden.
Diese hat die Form (x-x1) * (x-x2) *(x-x3) … wobei hier jeweils die x1, x2 und x3 die Nullstellen der Nennerfunktion sind.

Danach kommt die „eigentliche“ Partialbruchzerlegung: Die gebrochenrationale Funktion f(x) wird in Partialbrüche zerlegt, die in etwa so aussehen:
f(x) = A/(x-x1) + B/(x-x2) + C/(x-x3) + …

Hat man jedoch nun eine doppelte Nullstelle, so muss diese in zwei Partialbrüchen auftauchen. Dies würde in etwas so aussehen: A/x² + B/x + …
Für eine doppelte Nullstelle würden so also zwei Partialbrüche benötigt werden.

Nach Aufschlüsselung in Partialbrüche können diese nun auf einen Hauptnenner gebracht werden. Danach kann der Zähler der gebrochenrationalen Funktion mit dem Zähler aus der Partialbruchzerlegung gleichgesetzt werden.
Die einzelnen Werte für die Konstanten A, B, C usw. können nun durch Koeffizientenvergleich oder durch einsetzen sinnvoller x-Werte ermittelt werden. Beim einsetzen empfiehlt es sich die Nullstellen der Nennerfunktion zu wählen, so spart man sich viel Rechenarbeit.

Wurden die einzelnen Konstanten A, B, C ermittelt, so kann die gebrochenrationale Funktion vollständig in ihrer Partialbruchform dargestellt werden. Die Partialbrüche können nun sehr einfach mit herkömmlichen Integriermethoden einzeln integriert werden.