Ableitungen sind Teil der Differentialrechnung. Durch eine Ableitung kann man Eigenschaften einer Funktion, wie ihre Steigung an einem bestimmten Punkt, Sattel- oder Wendepunkte, die für viele Anwendungen wichtig sind, erfahren. Sie sind der Grundpfeiler der Analysis und damit in allen Gebieten anzutreffen, die sich mit Eigenschaften von Funktionen beschäftigen.

Die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) wird nach festgelegen Ableitungsregeln erstellt. Im folgenden wird der Einfachheit halber immer nach x abgeleitet.

Faktor- und Potenzregel

Dies sind die grundlegendsten Ableitungsregeln. Steht ein Faktor c vor einer Funktion f(x), so bleibt er bestehen, also c*f(x) wird zu c*f'(x) abgelitten. Die Potenzregel besagt, dass f(x)=x hoch n(im weiteren durch x^n dargestellt) zu f'(x)=n*x^n-1 wird. Dadurch wird zum Beispiel aus f(x)= 3x^2 nach einmaligem ableiten f'(x)=3*2*x=6x. Dies funktioniert genauso bei negativen Potenzen, aus f(x)=4x^-3 wird also f'(x)=4*(-3)x^-4. Konstanten hingegen entfallen nach dem Ableiten, also f(x)=3x +2 wird zu f'(x)=3, die ‚+2‘ entfällt komplett, da sie keinen Bezug zu x hat.

Summenregel

Unter den Ableitungsregeln gibt es auch eine Regel für Summen. Sie besagt, dass in eine Funktion mit f(x)+ g(x) beide Teile der Funktion abgelitten und dann addiert werden, also f'(x)+g'(x). Zum Beispiel wird mit der Summenregel aus f(x)= 2x^2 + x^2 f'(x)= 2*2x+2x = 4x+2x, was zu f'(x)=6x zusammengefasst werden kann.

Produktregel

Auch wenn sie zuerst kompliziert erscheinen, sind die Ableitungsregeln mit etwas üben gut zu lernen.

Auch wenn sie zuerst kompliziert erscheinen, sind die Ableitungsregeln mit etwas üben gut zu lernen.

Die Ableitungsregeln zu Produkten besagen, dass eine Funktion bestehend aus f(x)*g(x) abgelitten wird zu f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x). Es wird jeweils ein Element des Produktes abgelitten, während die Restlichen unverändert bleiben und dann werden alle Produkte aufaddiert. Ein Beispiel hierzu ist f(x)= 2x^2 * 3x

Quotientenregel

Unter den Ableitungsregeln, ist die Quotientenregel meist gefürchtet, da sie komplizerter als die anderen Ableitungsregeln ist. Bei genauer Betrachtung sieht man aber, dass sie teilweise der Produktregel ähnelt. Ein Quotient f(x)/g(x) wird abgelitten, indem man die einzelnen Teile, wie schon bei der Produktregel ableitet, dann werden sie jedoch voneinander abgezogen statt addiert, also f'(x)g(x)-f(x)g'(x) und zusätzlich noch durch g(x)^2 geteilt, also (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2. Im Beispiel wird (x^2 +1)/x^2 zu (2x*x^2 – (x^2 +1)2x)/(x^2)2 = (2x^3- x^4 +2x)/x^4.