Die Quotientenregel ist eine hilfreiche Regel in den Differentialrechnung, wenn es also darum geht, Funktionen abzuleiten. Sie gibt an, auf welche Art und Weise eine Funktion abgeleitet werden muss, die durch einen Bruch (bzw. einen Quotienten – daher der Name Quotientenregel) ausgedrückt wird. Generell ist die Ableitung einer Funktion f(x) definiert als Grenzwert (f(x+h) – f(x)) / h, wobei h gegen 0 läuft. Die Ableitung wird mit f’(x) bezeichnet.

In dem besonderen Fall, dass f(x) durch einen Bruch dargestellt werden kann, also f(x) = u(x) / v(x) gilt, kann man die Ableitung der kompletten Funktion f aus den einzelnen Funktionen u und v und ihren Ableitungen u’ und v’ berechnen. Die Quotientenregel lautet

  • f’(x) = (u’(x)*v(x) – u(x)*v’(x)) / (v(x))2 bzw. kürzer
  • f’ = (u’*v – u*v’) / v2

Im Zähler steht also die Differenz aus dem Produkt der Ableitung der Zählerfunktion (u’) und der Nennerfunktion (v) und umgekehrt dem Produkt der Zählerfunktion (u) und der Ableitung der Nennerfunktion (v’). Im Zähler steht das Quadrat der Nennerfunktion (v2).

Möglichkeiten der Herleitung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Quotientenregel herzuleiten. Man kann z. B. andere Ableitungsregeln zur Hilfe nehmen und die Quotientenregel durch Verwendung der Produktregel und der Kehrwertregel (bzw. Kettenregel) herleiten, indem man den Bruch u(x) / v(x) als Produkt der zwei Funktionen u(x) und 1 / v(x) auffasst.
Am direktesten ist allerdings eine Herleitung, die komplett ohne Zuhilfenahme von bereits bewiesenen Regeln auskommen. Daher wollen wir die Quotientenregel einfach mit der Definition der Ableitung beweisen.

Herleitung mithilfe des Differenzenquotienten

Die Definition besagt, das die Ableitung von f(x) = u(x) / v(x) der Grenzwert des Bruchs (f(x+h) – f(x)) / h, für h gegen 0 ist. Wir setzen für f(x) nun den Bruch ein und erhalten f’(x) = limh?0 (u(x+h) / v(x+h) – u(x) / v(x)) / h. Dann bringen wir die beiden Brüche im Zähler auf den Hauptnenner v(x+h)*v(x) und fassen sie zusammen: (u(x+h)*v(x) – u(x)*v(x+h)) / v(x+h)*v(x) / h. Die beiden Divisionen (bzw. Nenner) können wir vertauschen und betrachten dann im Zähler wieder zwei Brüche statt einem: (u(x+h)*v(x) – u(x)*v(x+h)) / h / v(x+h)*v(x) = (u(x+h)*v(x) / h – u(x)*v(x+h) / h) / v(x+h)*v(x).

Betrachten wir nun den Zähler genauer, so sehen wir, dass die Ausdrücke u(x+h) / h und v(x+h) / h schon an die Differenzenquotienten für die Ableitungen für u und v erinnern, es fehlen aber jeweils -u(x) und -v(x). Daher fügt man dem Zähler eine ‚geschickte’ Null hinzu, nämlich den Ausdruck u(x)*v(x) / h – u(x)*v(x) / h. Den ersten Bruch unseres Zählers und den zweiten Bruch der ‚geschickten Null’ können wir zusammenfassen zu (u(x+h) – u(x))*v(x) / h bzw. ((u(x+h) – u(x)) / h)*v(x), die beiden anderen Brüche analog zu –((v(x+h) – v(x)) / h)*u(x). Betrachtet man nun die Grenzwerte und beachtet die Definition der Ableitung, so hat man im Zähler gerade u’(x)*v(x) – u(x)*v’(x) und im Nenner (v(x))2. Der Beweis ist komplett.