Kaum eine Größe in unserem Leben ist konstant. Fast alles, außer Naturkonstanten, unterliegt Veränderungen. So ist der Dynamikbereich einer Größe oft bekannt, aber wichtig ist darüber hinaus auch oftmals die Geschwindigkeit, mit der sich eine Größe ändert, die Rate der Änderung. Für alle diese Fälle brauchen wir die Differentialrechnung.

Die Differentialrechnung kann zur Berechnung von Geschwindigkeiten eingesetzt werden.

Die Differentialrechnung kann zur Berechnung von Geschwindigkeiten und deren Veränderungen eingesetzt werden.

Ein Beispiel dafür ist der schnell ansteigende Pegelstand von Flüssen nach einer lang anhaltenden, ergiebigen Regenperiode. Die Geschwindigkeit, mit der ein Pegel steigt, also die messbare Änderung des Wasserstandes, gibt auch Hinweise darauf, mit welchem maximalen Stand zu rechnen ist. Auch kann sich eine sehr rasche Durchfeuchtung der Deiche auf ihre Standfestigkeit auswirken.

Den mathematischen Prozess bei der Differentialrechnung, die Differentiation einer Funktion, bei der im Grunde die Steigung (oder das Gefälle) des Graphen im Diagramm bestimmt wird, kann man gut plausibel machen am so genannten Differenzenquotienten. Dazu betrachten wir eine Funktion f(x) bzw. ihre Funktionswerte an der Stelle x und auch gleich dicht daneben an der Stelle x+h, wobei h ein sehr kleines Stückchen (Delta_X) auf der X-Achse bedeutet. Das sogenannte Steigungsdreieck ergibt sich auf der Vertikalen durch den Unterschied beider Funktionswerte:
f(x+h) – f(x) und parallel zur X-Achse aus der Differenz beider X-Stellen, das ist h.

[f(x+h)-f(x)]/h ist der Tangenswert des Steigungswinkels (alpha) in dem kleinen Dreieck. Erst wenn man den Grenzübergang durchführt und h unendlich klein werden lässt, dann ergibt sich so die Steigung der Tangente an der Kurve an der Stelle x. In diesem Fall sprechen wir in der Differentialrechnung von der Ableitung der Funktion, von der Differentiation der Funktion, die oft bezeichnet wird mit f'(x) = df(x)/dx

Dazu ein einfaches Beispiel: f(x) = x2 <i>(lies X-Quadrat bzw. H-Quadrat)</i>
f(x+h) = x2 + 2hx + h2 <i>(1. Binomische Formel)</i>
tan(alpha) = [x2 + 2hx + h2 – x2] / h = [2hx + h2] / h = 2x + h
Beim Grenzübergang, der ein Kernstück der Differentialrechnung ist, wird h zu null, und die Ableitung der Funktion ist gleich 2x.

Für so einfache Funktionen wie die Polynome gilt ganz allgemein die sehr einfache Ableitungsregel: „Nimm den Exponenten von x als Vorfaktor und reduziere den bisherigen Exponenten um 1“; Beispiel:
f(x) = x4 – 3×2
f'(x) = 4×3 – 6x

Nun sind nicht alle Funktionen so einfach, und damit wird auch die Differentialrechnung, also das Ableiten komplizierterer Funktionen etwas schwieriger. Bei einem Produkt zweier Funktion f(x) und g(x) ist zur Ableitung eine Produktregel der Differentialrechnung anzuwenden, und entsprechend gibt es dazu auch eine Quotientenregel, wenn ein Quotient zweier Funktionen f(x)/g(x) zu differenzieren ist.

Kommen wir abschließend noch einmal zurück auf das obige Beispiel des steigenden Pegelstandes. Um aus der Änderung einer Funktion auf ihre so genannte Stammfunktion zu schließen, muss genau das Gegenstück der Differentialrechnung angewandt werden, das ist die Integralrechnung. Man würde hier also sozusagen die gemessenen Änderungen der Pegelstände aufaddieren und zeitlich etwas extrapolieren, um eine Information über den zu erwartenden Höchststand zu gewinnen.