Bei der Integralrechnung handelt es sich um eine Summation unendlich vieler und unendlich kleiner Teile bzw. Flächen. Anschaulich machen kann man das an einem Beispiel. Wir betrachten die einfache mathematische Funktion f(x) = x2 (lies X-Quadrat).

Wir möchten wissen: Wie groß ist die Fläche unter dieser Kurve bis zur X-Achse als untere Begrenzungslinie. Eigentlich wissen wir schon die Antwort: Denn diese Fläche ist unendlich groß, erstreckt sich doch auch der Graph im Grunde von x = -unendlich bis x = +unendlich. Daher ist es so wichtig, bei der Integration einer Kurve auch eine obere und eine untere Integrationsgrenze mit anzugeben.

Wenn wir also die Frage so formulieren: Wie groß ist die Fläche unter der Kurve innerhalb des Intervalls von xa = -10 und xb = +20 (a und b sind hier Indizes), dann lässt sich dafür eine eindeutige Lösung angeben. Die Fläche beträgt 3000, z. B. Quadratzentimeter, wenn diese Einheiten verwendet werden. Was hier im Prinzip passiert, ist, dass der Funktionswert zunächst an der Stelle xa=-10 genommen wird, das ist 100, und mit dem sehr kleinen Schritt in X-Richtung (Delta-X) multipliziert wird; das ergibt ein kleines Flächenstück (100 mal Delta-X). Dann geht man zum nächsten Schritt, der liegt bei xa+(Delta-X), rechnet dort den Funktionswert aus, den man wieder mit Delta-X multipliziert. Dieses neue Flächenstückchen addiert man auf das vorherige. Und so schreitet man sehr viele Delta-X-Schrittchen voran, bis man schließlich angekommen ist an der oberen Grenze xb. Je kleiner man das Delta-X wählt, desto genauer berechnet sich die wahre Fläche unter der Kurve, die dann auch nicht mehr so gezackt aussieht. Was bis hier her beschrieben wurde, das ist eine diskrete Summation kleiner Flächen.

Übergang von der Summe zum Integral

Die Integralrechnung bedeutet nun den mathematischen Grenzübergang zu unendlich vielen und gleichzeitig unendlich kleinen Delta-X Schritten, die mit „dx“ gekennzeichnet werden.

Die Aufgabe wird bei der Integralrechnung so formuliert:

Integral von x2 mal dx innerhalb der Grenzen xa und xb = 1/3 mal x3 (lies x hoch 3) von xa bis xb.

Bei den einfachen Polynom-Funktionen ist die Vorschrift zur Durchführung der Integration eigentlich recht simpel: Man erhöht den Grad des Exponenten um 1, und der so gewonnene neue Exponent stellt als Quotient geschrieben den Vorfaktor dar. Zuerst wird dann die obere Grenze eingesetzt, in unserem Beispiel 1/3 mal 20 mal 20 mal 20, und davon abgezogen wird das Ergebnis beim Einsetzen der unteren Grenze, in unserem Beispeiel: – (1/3 mal -10 mal -10 mal -10). Das Gesamtergebnis ist dann genau 3000.

Bezug zur Differentialrechnung

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Um dies zu erläutern nehmen wir noch einmal Bezug auf das obige Beispiel. Gegeben sei F(x) = 1/3 mal x3

Stellen wir nun die Frage: Welches ist die Ableitung der Funktion F(x) ?
dF(x)/dx = 1/3 mal 3 mal x2 = x2
Wer einfache Ableitungsregeln kennt, kann dieses Ergebnis nachvollziehen und sieht ein, dass die Differentiation der Integral- bzw. Stammfunktion F(x) hier wieder zurück führt auf die Funktion f(x), von der wir ja für die Integration ausgegangen waren.

Zusammengesetzte Funktionen

Bei komplizierteren Funktionen, z. B. Produkte oder Quotienten zweier (eigenständiger) Funktionen, muss bei der Integralrechnung dann beispielsweise die Kettenregel, die wir aus der Differentialrechnung kennen, quasi umgekehrt angewendet werden. Das lässt sich nun nicht mehr mit wenigen Worten erklären; im Ergebnis kommen dann Integrationsvorschriften dabei heraus, die als Produktregel respektive Quotientenregel bezeichnet werden. Hierzu bietet die Mathematik auch viele hilfreiche Tafelwerke und Übersichten, in denen die häufiger vorkommenden Funktionen und ihre Stammfunktionen, sozusagen schon fertig integriert bzw. differenziert, gegenüber gestellt werden.