Die Kettenregel ist, neben der Produktregel und der Quotientenregel eines der wichtigsten Elemente der Differentialrechnung. Wie der Name schon vermuten lässt, wird sie benutzt, um zwei oder mehrere miteinander „verkette“ Funktionen abzuleiten.
Man benötigt sie bei Funktionen der Form: f(x)= u(v(x))

Dabei ist u(v(x)die äußere Funktion (das was zuerst ausgerechnet wird) und v(x) die innere Funktion (was danach ausgerechnet wird).
Um diese Funktion zu differenzieren, muss die äußere Ableitung mit der inneren multipliziert werden, also gilt:
f(x)= u(v(x)) -> f'(x)= u'(v(x)) * v'(x)

Rechenbeispiel

Eine Funktion, bei der diese Regel angewendet werden müsste, wäre beispielsweise:

f(x) = (3+x)^a

Zuerst wird die Funktion nach dem bereits bekannten Prinzip der
Potenzregel ( f(x)= ax^n -> f'(x)= anx^(n-1) )
differenziert ohne den Term in der Klammer zu verändern, um den Ausdruck u'(v(x))zu erhalten:
(3+x)^a -> a(3+x)^(a-1) = u'(v(x))

dann wird der Ausdruck in der Klammer, also die innere Funktion differenziert:

3+x -> 1

Anschließend multipliziert man beide Ausdrücke miteinander, um die Ableitung zu erhalten:

f(x) = (3+x)^a ->
f'(x) = (a(3+x)^(a-1))*1 = a(3+x)^(a-1)

Dieses eher einfache Beispiel enthält zwar eine Verkettung von Funktionen, sodass rein formal gesehen die Kettenregel angewendet werden müsste, jedoch würde die Nichtbeachtung der Kettenregel hier zu demselben Ergebnis führen, da der zweite Faktor ( v'(x) ) gleich eins ist.
Das folgende Beispiel zeigt, weshalb man bei den meisten Rechnungen keinesfalls die Anwendung der Kettenregel vergessen sollte:

falsch gerechnet (ohne Kettenregel)

f(x)= (8+x^3)^2

-> f'(x)= 2(8+x^3)^1 = 2(8+x^3) (falsches Ergebnis)

richtig gerechnet (mit Anwendung der Kettenregel)

f(x)= (8+x^3)^2

-> f'(x)= 2(8+x^3)^1 *2x^2 = 4x^2 (8+x^3)

Hier noch einmal eine kurze Übersicht zur Kettenregel:

  • Allgemeine Form der Kettenregel: f(x)= u(v(x)) -> f'(x)= u'(v(x))*v'(x)
  • immer „äußere Funktion“ mal „innere Funktion“
  • anzuwenden wenn ineinander verkettete Funktionen abgeleitet werden sollen