Der Begriff Standardabweichung

Unter der Standardabweichung wird ein Maß der Statistik verstanden. Das Maß sagt aus, welche Verteilung die Werte eines statistischen Merkmals rund um dessen arithmetischen Mittelwert haben. Die Standardabweichung bezeichnet die durchschnittliche Entfernung der Merkmalsausprägung vom Durchschnitt.

Beispiel

Unter einem Merkmal wird eine statistische Größe verstanden. Ein Merkmal kann die Anzahl der Kinder der Befragten sein. Die Merkmalausprägung wäre dann 1, 2 oder 3 Kinder. Der Durchschnitt läge bei zwei Kindern und die Standardabweichung sei 5.
Das bedeutet, dass die durchschnittliche Entfernung aller Antworten einer Anzahl befragter Personen zum Mittelwert 2 fünf ist.
Im Jahre 1860 wurde die Standardabweichung von Francis Galton in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt.

Die Berechnung der Standardabweichung

Die Formel ist die Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz wird berechnet, in dem die Abweichungswerte vom Mittelwert subtrahiert werden. Dann werden die Differenzen quadriert und eine Summe gebildet. Diese Summe wird durch die Anzahl der Messwerte geteilt.
Die Varianz hat durch die Quadrierung eine andere Einheit erhalten als die Messwerte. Dadurch können keine Aussagen über die Streuungsbreite oder Warscheinlichkeitsverteilung gemacht werden. Wird die Quadratwurzel aus der Varianz gezogen, wird die Abweichung berechnet. Die Interpretation ist nun klarer.

Interpretation der Standardabweichung

Eine kleine Abweichung sagt, dass die Ausprägungen des Merkmals eng um den Mittelwert liegen. Eine größere Abweichung zeigt eine breitere Streuung an.
Bei der symmetrischen Verteilung, Normalverteilung genannt, wird angenommen, dass alle Merkmalswerte zu 68 % innerhalb der Abweichung von oben oder unten um den Mittelwert liegen.
Beispiel: Bei einer Befragung von 1000 Personen nach ihren Ausgaben fürs Mittagessen wurden ein Mittelwert von 3 Euro und eine Abweichung von 0,30 Euro berechnet. Das Merkmal ist normalverteilt.
Es kann nun gesagt werden, dass 68 % der Essenden zwischen 2,70 Euro und 3,30 Euro für ihr Mittagessen ausgeben.

Histogramm und Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein zusammenfassendes Maß. Das Histogramm zeigt den Verlauf der Häufigkeitsverteilung an und bietet so die Verteilung einzelner Merkmalsausprägungen.