Geometrische Flächen winkeltreu abbilden – die Zentrische Streckung macht es möglich
Die Zentrische Streckung bezeichnet in der Geometrie eine Abbildungsform, welche alle gegebenen Strecken um ein gewisses Maß vergrößert bzw. verkleinert. Dabei sind die abgebildeten Strecken – vergrößert oder verkleinert – zu den ursprünglich abzubildenden Strecken parallel. Somit ist die zentrische Streckung eine spezielle Ähnlichkeitsabbildung. Die zentrische Streckung kann auch als Dilatation angesehen werden. Diese Begrifflichkeit hat in der affinen Geometrie Ihre Begründung in der Parallelität der Strecken.

So funktioniert die zentrische Streckung

Betrachtet man die zentrische Streckung, setzt man einen Punkt Z außerhalb eines Dreiecks ABC in Bezug zueinander.

Betrachtet man die zentrische Streckung, setzt man einen Punkt Z außerhalb eines Dreiecks ABC in Bezug zueinander.

Gegeben sei ein Dreieck A, B, C. Von diesem Dreieck aus existiere der Punkt Z – welcher nicht von den drei Seitenflächen eingeschlossen wird. Der Punkt Z dient im folgenden als Streckzentrum. Nun wird noch ein Streckungsfaktor m benötigt. Sonderfälle für den Streckungsfaktor sind m = 1, dann hat man das Gleiche Dreieck nochmal – die Streckung ist also eine direkte Abbildung auf das alte Dreieck. Für den Streckungsfaktor m = -1 hätte man eine Punktspiegelung des Dreiecks. Der einzig verbotene Wert für m ist die Null – denn sonst hätten alle Punkte des geometrischen Körpers dieselben Bildpunkte, nämlich das Streckungszentrum.
Vom Streckzentrum aus wird nun zu allen Eckpunkten des Dreiecks eine Halbgerade gezeichnet. Anschließend wird jede Strecke von Streckzentrum zu Eckpunkt gemessen und mit dem Streckungsfaktor m multipliziert. Die sich daraus ergebende Maßzahl wird vom Zentrum aus an die Halbgerade angezeichnet und gibt den neuen Bildpunkt – in unserem Fall jeweils A‘, B‘ und C‘. Die neuen Bildpunkte müssen anschließend nur noch zum neuen – gestreckten – Dreieck verbunden werden. Die neuen Seitenlängen des Dreiecks können nun beispielsweise auch mit dem Strahlensatz des Thales berechnet werden. In der Vektorrechnung funktioniert die zentrische Streckung ähnlich einfach.

Weitere Eigenschaften und Merkmale der zentrischen Streckung
Im Grunde genommen kann sie als Drehstreckung mit dem Drehwinkel 0 betrachtet werden. Zudem ist sie winkel-, kreis- und geradentreu. Während die Seiten im gleichen Längenverhältnis um den Faktor m gestreckt werden, wird der Flächeninhalt der Figur mit dem m²-fachen abgebildet. Bei einem geometrischen Körper im dreidimensionalen Raum wäre das neue Volumen das m³-fache des alten Volumens. Wie oben beschrieben funktioniert die zentrische Streckung auch in der Vektorrechnung. Hier wird sie geschrieben als:

P‘ = m*P + (1 – m) * Z

Somit ist sie hier die Affinität – welche mit Hilfe des Verschiebungsvektors (1-m) * Z sowie der Matrix m * En beschrieben wird.