Es wird wohl kaum jemand bestreiten wollen, dass die Exponentialfunktion eine der wichtigsten Funktionen in Mathematik und Physik sowie in vielen anderen Disziplinen überhaupt ist. Das liegt daran, dass sie all jene Vorgänge beschreibt, deren Änderung bzw. Rate der Zunahme oder Abnahme von der zu Grunde liegenden Menge abhängt. Das klingt erst mal kompliziert und unververständlich, dennoch steckt ein sehr einfaches Prinzip dahinter, das an Beispielen leicht zu erklären ist.

Nehmen wir einen bescheidenen Sparer, der heute 1000 Euro anlegt und von seiner Bank (nur) einen Prozent Guthabenzins erhält. Wir setzen noch voraus, dass er sein Konto für die nächsten Jahrzehnte „vergisst“, d.h. er lässt das so unangetastet laufen und hebt kein Geld ab. So erhält er also nach einem Jahr eine Zinsgutschrift in Höhe von 10 Euro, und das wiederholt sich so jedes Jahr, denken nun viele, die hierin eher ein gutes Beispiel für eine lineare Funktion sehen. Was aus diesem Prozess nun tatsächlich eine Exponentialfunktion macht, das ist hier der Zinseszinseffekt, denn die Gutschrift bewirkt ja, dass der Kontostand nach einem Jahr 1010 Euro beträgt. Das bewirkt nach dem zweiten Jahr eine Gutschrift in Höhe von 10,10 Euro und nach dem dritten Jahr erhält der Kunde theoretisch 10,201 Euro. Dieses für den Sparer sicherlich etwas unbefriedigende Beispiel zeigt, dass die Zunahme (hier die Zinszahlung) nicht gleich bleibt (was ja Linearität bedeuten würde), sondern sich ständig etwas vergrößert, weil ja auch der Anlagebetrag selbst, der hier verzinst wird, ständig anwächst.

Das Wachstum der Bevölkerung kann man mit einer Exponentialfunktion berechnen

Das Wachstum der Bevölkerung kann man mit einer Exponentialfunktion berechnen

Solches exponentielle Verhalten trifft man insbesondere bei natürlichen Prozessen häufig an, so z. B. beim Wachstum der Weltbevölkerung (8 Milliarden Menschen erzeugen mehr Kinder als 4 Milliarden Menschen, eines unserer größten Probleme), bei der Vermehrung von Grippeviren in unserem Körper, beim radioaktiven Zerfall instabiler Isotopen (Abnahme), bei der Produktion von spaltenden Neutronen im Moment der Explosion einer Atombombe oder auch bei der Geldentwertung (Inflation 1923). Mathematisch lässt sich solches Verhalten immer mit Hilfe der Exponentialfunktion in dieser Form beschreiben:

M(t) = M0 exp(alpha mal t)

Dabei ist M(t) z. B. eine Menge in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t, M0 ist die Ausgangsmenge zu Beginn des betrachteten Prozesses (t=0) und alpha bestimmt die Steilheit der Zunahme von M(t), beschreibt also den physikalischen Prozess. Wenn alpha negativ ist, handelt es sich um eine Abnahme von M(t). Mit „exp“ wird die Exponentialfunktion bezeichnet bzw. abgekürzt. Gesprochen klingt obige Gleichung so:

M von t ist gleich M-null mal e hoch alpha-t

e ist hier eine Exponentialbasis und wird als Eulersche Zahl bezeichhnet zu Ehren des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion (kurz e-Funktion).

e = 2,718281828459…..

Es handelt sich dabei um eine so genannte irrationale Zahl mit der (irren) Eigenschaft, theoretisch unendlich viele Nachkommastellen zu besitzen, die auch keine Periodizitäten zulassen.