Bei linearen Gleichungssystemen sind mehrere Gleichungen gegeben, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Das richtige oder einfachste Lösungsverfahren für lineare Gleichungen gibt es nicht, da es zum einen darauf ankommt, wie viele Gleichungen und Unbekannte es gibt und zum anderen, mit welchem Lösungsverfahren für lineare Gleichungen man am besten klarkommt.

Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: Einzelne lineare Gleichungen

Wenn eine lineare Gleichung nach einer Variablen aufgelöst werden soll, so müssen zuerst alle Terme mit dieser Variablen auf die eine Seite und alle übrigen Terme auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Als Beispiel die nachfolgende Gleichung:

3x + 5x – 14 = x + 7 | – x
7x – 14 = 7 | + 14
7x = 21

Nachdem die Variablen sortiert sind, kann man durch den Faktor vor der Variablen teilen:

7x = 21 | :7
x = 3

Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es mehrere Gleichungen, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
Hier ein einfaches Beispiel mit zwei Gleichungen:

2x + y = 9 und
x – 3y = 1

Hier kann man für x und y noch keine Werte ablesen oder erkennen und muss mit einer der Lösungsverfahren für lineare Gleichungen eine Gleichung produzieren, in der nur noch eine der Variablen vorhanden ist.

Entweder kann eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst werden – mithilfe des Einsetzungsverfahrens – oder man kann beide Gleichungen nach einer Variablen auflösen und die Gleichungen dann gleichsetzen – mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens. Letztendlich ist das Gleichsetzungsverfahren allerdings nur eine Erweiterung des Einsetzungsverfahrens.

Ein weiteres Lösungsverfahren für lineare Gleichungen ist das Additionsverfahren.
Hier wird von der einen Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung subtrahiert oder addiert, damit hinterher eine der Variablen in der neuen Gleichung nicht mehr vorkommt.

Zunächst muss bei dem Additionsverfahren dafür gesorgt werden, dass eine Variable in den Gleichungen gleich oft vorkommt, durch die Addition oder Subtraktion der Gleichungen wird diese Variable dann eliminiert. Nachfolgend wird, um dieses zu erreichen, die zweite Gleichung mit 2 multipliziert:

x – 3y = 1 | *2
2x – 6y = 2

Nun wird die zweite von der ersten Gleichung abgezogen, dabei ergibt sich:

2x +  y = 9
– (2x – 6y = 2)
_______________
0 + 7y = 7

Aus der so entstandenen Gleichung kann nun y berechnet werden:

7y = 7 | :7
y = 1

Der Wert, der für y herauskommt, wird nun in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, um auf diese Weise x zu berechnen. Hier wird in die erste Gleichung eingesetzt:

2x + y = 9 | y = 1
2x + 1 = 9

Diese wird nun nach x aufgelöst:

2x = 8 | :2
x = 4

Die Lösung des Gleichungssystems lautet also x = 4 und y = 1.

Lösungsverfahren für lineare Gleichungen: Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

Hier muss man zunächst zwei Gleichungen erstellen, in denen nur noch zwei bestimmte Variable enthalten sind. Diese beiden Gleichungen löst man dann so, wie zuvor beschrieben bei den Gleichungen mit zwei Variablen.