Der Erwartungswert ist ein Maßzahl in der Stochastik und beschreibt den Wert einer Zufallsvariable, welche im Mittel, also im Durchschnitt angenommen wird. Dabei können Zufallsexperimente mit unendlich vielen Wiederholungen betrachtet werden. Der Erwartungswert – in mathematischer Schreibweise auch E(x) – konvergiert mit steigender Fallzahl in einen festen Wert. Verantwortlich für die Konvergenz ist das Gesetz der Großen Zahlen. Auf die Stichprobentheorie bezogen lässt sich also konstatieren, dass die Mittelwerte der Stichprobe bei wachsender Größe der Stichprobe gegen den Erwartungswert konvergiert.

Visuell gesehen, kann die Lage der Verteilung einer Zufallsvariable durch den Erwartungswert angegeben werden. Häufigkeitsverteilungen und arithmetische Mittel sind sehr wohl Bestandteile der deskriptiven Statistik und liefern auch in der Theorie von E(x) wichtige Argumente. In Verbindung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich E(x) als gewichtetes Mittel der Werte errechnen. In der fortgeschrittenen Ökonometrie spricht man weiterhin als erstes Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Praxisbeispiel – Der klassische Würfel

Der Würfelwurf ist ein klassisches Experiment in der Stochastik. Betrachtet wird die gewürfelte Augenzahl X. Hier können die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 angenommen werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl beträgt logischerweise p = 1/6 oder auch etwa 16,6 %.

Mit steigender Wurfzahl n nähert sich die Verteilung asymptotisch ihrem Erwartungswert. Berechnet man den Wert klassisch, so ergibt sich:

E(x) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
= 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6
= 21/6
= 3,5

Der erwartete Mittelwert beträgt in diesem Beispiel somit 3,5. Diese Zahl kann freilich nicht gewürfelt werden, die Würfe können sich aber so verteilen, dass diese Zahl im Mittelwert (also ihrem Erwartungswert) getroffen wird. Bei 10 Würfen ist es unwahrscheinlich, dass die Verteilung zunächst einmal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen gerecht wird. Auch ist der erwartete Mittelwert nach 10 Würfen wohl stark von seiner Varianz verzerrt. Mit steigender Wurfzahl, also beispielsweise mit 1000 Würfen, nähert sich die relative Wahrscheinlichkeit den „echten“ Werten und auch der Erwartungswert wird getroffen. Das Gesetz der Großen Zahlen und der Grenzwertsatz sorgen für diesen Sachverhalt, weswegen die Theorie um Erwartungswert, Mittelwert und Varianz in der Statistik und Mathematik und auch darüber hinaus in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften von großer Bedeutung sind. Es gibt weiterhin zahlreiche Beispiele für die Berechnung und Interpretation des Erwartungswertes.