Bei dem Binomialkoeffizient(en) handelt es sich um eine mathematische Funktion, die zur Lösung von Aufgaben im Bereich der Kombinatorik Verwendung findet. Hierbei wird die Anzahl der Möglichkeiten k Objekte aus einer n elementigen Kette ohne Zurecklegen und ohne der Beachtung einer Reihenfolge ermittelt. So kann man beispielsweise die Anzahl der Möglichkeiten 6 Zahlen aus 49 beim Lotto mit Hilfe des Binomialkoeffizient(en) errechnen. Der Binomialkoeffizient gilt für nichtnegative ganze Zahlen und ist nur für n>k definiert.

Berechnet man nun die 49Cr6 (gesprochen „49 über 6“ oder „6 aus 49“) so erhält man die Anzahl der möglichen Ziehungen. 49Cr6= 13.983.816
nimmt man nun den Kehrwert dieser Zahl 1/13.983.816 so erhält man die Wahrscheinlichkeit, 6 richtige aus 49 zu erzielen. Jedoch lässt sich durch das Verfahren des Binomialkoeffizienten nicht mehr die Wahrscheinlichkeit 5 richtige aus 49 zu erzielen berechnen.

Die Binomialverteilung

Eine Erweiterung des Binomialkoeffizient(en) stellt die Binomialverteilung dar, welche als eine der wichtigsten Wahrscheinlichketsverteilungen gilt. Diese Verteilung zeigt die Anzahl von Erfolgen oder Misserfolgen eines Versuch, welcher aufgrund dieser Eigenschaften nur zwi möglicher Versuchsausgänge als Bernoulli Versuch definiert ist.
Hat man die Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben und die Anzahl der Versuche n, so kann man mit Hilfe des Binomialkoeffizient(en) bzw der Binomialverteilung, die Anzahl genau k Erfolge zu erzielen, ermitteln.
So rechnet man:

n
?nCrk * p^k*(1-p)^(n-k)
k=0

Die Binomialverteilung lässt sich in einer Funktion graphisch ausdrücken, welche in Spezialfällen achsensymmetrisch zur parallel zur y-Achse liegenden Geraden durch den Punkt des Mittelwerts(oder auch Erwartungswert genannt)ist. Der Erwartungswert E ist als ?=n*p definiert. An dieser Stelle des Graphen befindet sich auch das Maximum der Funktion. Abgesehen von den Spezialfällen p=0, p=0,5 oder p=1 sie meist asymmetrisch. Mit zunehmenden n wird der Graph symmetrischer. Mit wachsendem n benötigt man realtiv gesehen immer weniger Nachbarwerte um den Erwartungswert ? für die 90%-Umgebung.

Bei jedoch sehr großen n, findet der Binomialkoeffizient keine Anwendung und man muss auf die integrale oder die Lokalenäherungsformel nach Moivre und Laplace zurückgreifen, um näherungsweise die Werte bestimmen zu können.