Im Teilbereich der Stochastik stößt man in nahezu jeder Rechenaufgabe auf den Begriff Binomialverteilung. Diese ist eine der wichtigsten Arten der Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines Bernoulli-Experiments. Somit beschreibt die Binomialverteilung die auf lange Sicht zu erwartende Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses eines Zufallsexperiments mit zwei verschiedenen Elementarergebnissen (Ereignis und Gegenereignis; Treffer und Niete) und beliebig vielen voneinander unabhängigen Durchläufen ohne Wahrscheinlichkeitsänderung.

Berechnung der Binomialverteilung

Beim Durchführen eines Zufallsexperiments beschreibt das Parameter „p“ die Trefferwahrscheinlichkeit, „n“ die Anzahl der Durchläufe des Experiments und „k“ die Anzahl der Treffer, dessen Wahrscheinlichkeit es zu berechnen gilt. Das Gegenereignis, also die „Niete“ trägt dabei die Wahrscheinlichkeit „1-p“, da Ereignis und Gegenereignis immer 1 ergeben müssen, was 100% entspricht. Häufig wird diese Gegenwahrscheinlichkeit mit „q“ definiert. Daraus ergibt sich die folgende Formel zur Berechnung der Binomialverteilung:

Die Wahrscheinlichkeit von dem zu berechnenden Wert k (X=k) ist „n über k“ multipliziert mit der Trefferwahrscheinlichkeit p zur Potenz k und der Nietenwahrscheinlichkeit q zur Potenz der Differenz aus n und k. Auf guten Taschenrechnern definiert eine Taste den Term „n über k“, ansonsten beschreibt dieser den Quotienten aus der Fakultät von n und der Fakultät von k multipliziert mit der Fakultät aus n-k (Vereinfacht: n!:((k!*(n-k)!)). Der Ausdruck wird auch als Binomialkoeffizient bezeichnet.

Besondere Eigenschaften

Der auf lange Sicht bei einer Binomialverteilung zu erwartende Wert k beschreibt den Durchschnitt dieses Zufallsexperiments. Dieser wird auch Erwartungswert genannt und wird durch die Multiplikation von n und p errechnet.

Ebenfalls besitzt eine Binomialverteilung eine Varianz und eine Streuung. Die Varianz wird durch Multiplikation von n,p und q berechnet und beschreibt, wie weit einzelne Ergebnisse von dem Erwartungswert abweichen. Die Streuung ist die Wurzel der Varianz und wird auch Laplace-Bedingung genannt. Hat eine Binomialverteilung eine Streuung über dem Wert drei, so gilt die Laplace-Bedingung als erfüllt und das Zufallsexperiment als durchführbar.

Besitzt ein Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten 0, 0,5 oder 1, so ist die Binomialverteilung symmetrisch, ansonsten lassen sich keine Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Wahrscheinlichkeiten erkennen.

Ein Experiment gilt nur als Bernoulli-Kette, wenn sich die Wahrscheinlichkeit zwischen den einzelnen Durchläufen nicht ändert, also eine Bernoulli-Verteilung vorliegt. Ansonsten besitzt das Experiment eine hypergeometrische Verteilung. Dies kann man auch als Experiment „ohne Zurücklegen“ definieren. Bei einer kleinen Anzahl wird diese anders berechnet als das Bernoulli-Experiment, auf lange Sicht hingegen nähern sich die Wahrscheinlichkeiten beider Arten aneinander an, sodass die hypergeometrische Verteilung dann ebenfalls mittels Binomialverteilung errechnet werden kann.