In der Stochastik kommt eine spezielle Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung vor: Die hypergeometrische Verteilung. Gemäß der Kombinatorik handelt es sich bei ihr um einen Teil der diskreten Mathematik, welche sich mit endlichen Strukturen – in manchen Fällen auch abzählbar unendlichen Versionen – auseinandersetzt. Ihre Abgrenzung zu anderen Untergeordneten dieses Gebietes der Mathematik verläuft fließend, sodass Überschneidungen möglich sind.

Definition

Im Umgang mit dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung fällt frühzeitig auf, dass sie sich in einem Punkt von den meisten anderen Wahrscheinlichkeiten der Stochastik unterscheidet. Die hypergeometrische Verteilung verwendet den Binomialkoeffizient zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, welcher ihr entsprechend seiner Bedeutung die für sie spezifische Eigenheit verleiht. Daraus geht wiederum hervor, dass der in der Verteilung genutzten dichotomen Grundgesamtheit ausschließlich Stichproben entnommen werden, ohne dass selbige den Prozess des Zurücklegens erfahren. Besagte Elemente werden zudem zufällig entnommen, sodass diese Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung darauf abzielt, zu verdeutlichen, wie häufig welche Stichproben vorkommen. Hierbei wird in der Regel ein bestimmtes Element bzw. eine bestimmte Eigenschaft in Augenschein genommen, die den positiven bzw. negativen Ausgang der getesteten Wahrscheinlichkeit ergeben. Anhand dieser Faktoren wird die hypergeometrische Verteilung nicht nur als diskret, sondern auch als dreiparametrig verstanden.

Existenzsinn

Die Existenz für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung beruht auf ihrem Gegenstück, der Binomialverteilung. Während die hypergeometrische Verteilung auf dem Konzept beruht, dass Stichproben ohne Zurücklegen erfolgen, versagt die zuvor genannte Variante an dieser Stelle. Die entstehenden unzureichenden Ergebnisse der Binomialverteilung beruhen auf dem Faktor, dass die einzelnen Versuche in stochastischer Hinsicht nicht unabhängig voneinander sind. Bei kleinerer Menge der dichotomen Grundgesamtheit entstehen zwangsläufig Ungenauigkeiten, die zu keinem konkreten Ergebnis führen können. Aus diesem Grund ist das Wegfallen des Zurücklegens von Stichproben für die hypergeometrische Verteilung die ausschlaggebende Bedeutung für ihr Dasein.

Beispiele

Das klassische Beispiel für die hypergeometrische Verteilung stellt das sogenannte Urnenmodell dar. Besagte Urne enthält Kugeln mit unterschiedlichen Eigenschaften, wobei diese in der Regel auf die Färbung der Kugeln anspielt. Im Sinne der Stochastik wird nun die Häufigkeit bzw. Seltenheit der Wahrscheinlichkeit festgestellt, wie oft eine bestimmte Sorte Kugel mit der gewünschten Eigenschaft gezogen wird. Die Möglichkeiten, beispielsweise drei rote Kugeln zu ziehen, werden im Anschluss eindeutig von der Wahrscheinlichkeitsfunktion wiedergegeben.

Ein anderes Beispiel, welches die hypergeometrische Verteilung sogar im Rahmen der allgemeinen Bekanntheit anwendet, findet sich in den typischen Qualitätskontrollen von Lebensmitteln, Kleidungsstücken und anderen Alltagsgegenständen wieder. Zufällig werden Stichproben von den zu testenden Elementen genommen, woraus sich wiederum eine realistische Rechnung ergibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für schlechte Qualität und gesundheitsgefährdende Nebenwirkungen ausfällt. Dieses Verfahren verläuft – solange es nicht manipuliert wurde – unter denselben zufälligen Bedingungen, die auch beim herkömmlichen Kauf der zu testenden Ware gegeben ist, sodass diese spezielle hypergeometrische Verteilung eine besonders große Bedeutung erfährt.