Die Logarithmusfunktion ist eine mathematische Operation, die zum Berechnen der Umkehrfunktion von Exponentialfunktionen dient. Der dazugehörige Graph dieser Funktionen ist darum auch Spiegelsymmetrisch zur ursprünglichen Exponentialfunktion.

Berechnung einer Logarithmusfunktion

Da eine Logarithmusfunktion eine umkehrende Operation zu einer Exponentialfunktion ist, berechnet man nicht die Werte für y, also y = a hoch x, sondern man sucht nach den Werten für x. Dementsprechend würde eine vereinfachte Formel x = a hoch y heißen und ausdrücken, dass eine Potenz bei einer bekannten Basis dem Exponenten zugeordnet wird. In geschriebener Form heißt das dann y = loga(x) und wird gelesen als Logarithmus von x zur Basis a. Für x können nun verschiedene positive und negative Werde eingesetzt werden, um den Verlauf des Graphen einer Logarithmusfunktion zu ermitteln. Es gelten darüber hinaus die gleichen Regeln wie für Exponentialfunktionen, das heißt, dass man eine Logarithmusfunktion unter anderem auch – abhängig von ihrer Basis – in mehrere Ableitungen umrechnen oder auch ein Integral der Funktion bilden lassen kann.

Besonderheiten der Funktionen

Abhängig von ihrer Basis gibt es drei Sonderformen der Logarithmusfunktion. Ist die Basis 2, wird von der Funktion eines dualen oder auch eines binären Logarithmus gesprochen und mit dem Kürzel „lb“ ausgedrückt. Der Graph dieser Standartfunktion ist wie bei der entprechenden quadratischen Exponentialfunktion eine Parabel. Der zweite Sonderfall befasst sich mit der eulerschen Zahl e, die fast ausschließlich in Exponentialfunktionen auftaucht. Eine Funktion des Logarithmus mit der Basis e (also 2,718~) wird natürlicher Logarithmus genannt. Als Operator in Funktionen wird sie mit „ln“ für den natürlichen Logarithmus ausgedrückt. Die Besonderheit dieser Funktion liegt darin, dass sie unendlich ist und sich bei ihrer graphischen Abbildung der y-Achse nur annähert, diese aber nie schneiden kann. Die dritte Sonderform ist der sogenannte dekadische Logarithmus „lg“, der bei einer Basis von 10 auftritt. Mit dem dekadischen Logarithmus werden hauptsächlich große Potenzfunktionen berechnet, die auf einen kleineren Graphen dann übertragen werden können.

Anwendungsgebiete

Wie auch eine Exponentialfunktion werden Berechnungen mit Logarithmen in verschiedenen Bereichen zur Ermittlung von Verläufen eingesetzt. Häufige Gebiete sind unter anderem die Physik oder die Chemie, in der sich das exponentielle Wachstum darstellen lässt. Beispielsweise lässt sich so ausdrücken, wie viel Strahlung von einem radioaktiven Element entsprechend der Zerfallrate freigesetzt wird. Daneben gibt es noch die Umkehrfunktion.