Was ist eine Potenzfunktion?

Es handelt sich um eine Funktion der Art f(x)=ax ^n. Dabei sind a und n Elemente der reelen Zahlen. Beispiel: y=2x³. Der Koeffizient ist a=2 und der Grad der Potenzfunktion ist n=3. Hier ist die Basis x die unabhängige Variable. Bei der Exponentialfunktion ist es der Exponent n.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion, die der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktion. Hier spielt auch der exponentielle Wachstum eine Rolle.

Spezialfälle

1. Die konstante Funktion: f(x)=a, n=0
2. Die lineare Funktion: f(x) = ax, n=1
3. Die Polynomfunktion ab dem 2. Grad: f(x)=ax², n=2 und höher
4. Die rationale Funktion: f(x)= a²+b/a²-b
5. Die Wurzelfunktion: f(x)= x^m/n, n ist ein Bruch

Das charakteristische Verhalten

Allgemeine Potenzfunktionen verhalten sich abhängig von der Parität des Exponenten und des Koeffizienten nach folgenden Regeln.

Sie sind achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn n gerade ist. Die Funktion ist auch gerade.
Sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn n ungerade ist. Die Funktion ist auch ungerade.
Ist n eine natürliche Zahl, ist der Graph der Funktion eine Parabel. Ist der Koeffizient a>0, ergibt sich eine nach oben offene Parabel. Ist der Koeffizient a<0, so ergibt sich eine nach oben geschlossene Parabel.
Ist n eine ganzzahlige negative Zahl, ist der Graph eine Hyperbel. Der Koeffizient a>0 zeigt eine nach rechts laufende Hyperbel. Der Koeffizient a<0 führt zu einer nach links laufenden Hyperbel.

Nullstellen, Verhalten für x gegen Unendlich und gegen 0.

Die Nullstellen einer Potenzfunktion sind die X-Werte, die die Funktion nach 0 auflösen.
Der Graph schneidet an der Nullstelle die X-Achse.
Eine Parabel schneidet die X-Achse zweimal. Das ergibt zwei Nullstellen. Eine Parabel kann eine Nullstelle haben, wenn sie die X-Achse nur in einem Punkt berührt. Eine Parabel hat keine Nullstelle, wenn sie die Form f(x)= x²+2 hat. Sie berührt die X-Achse nicht.
Eine Hyperbel hat eine Nullstelle.
Alle Funktionen mit einem Exponenten n>0 steigen langsamer als die Exponentialfunktion und gehen gegen + Unendlich.
Die Funktionen mit einem Exponenten n<0 gehen gegen +Unendlich, wenn x >0 ist.
Geht x gegen +Unendlich, so fallen die Funktionen.

Stetigkeit und Ableitung

Eine Potenzfunktion ist stetig in ihrer Definitionsmenge. Die Ableitungsfunktion der Funktion ax^n ist n*ax^n-1.

Die Berechnung der Potenzfunktion

Beispiel: Die Funktion lautet: y= x²+2x.
Um den Graph zeichnen zu können, werden verschiedene Werte in x eingesetzt und so y berechnet. Beispiel: x=2, y=8. Die Werte der Tabelle werden in ein Koordinatenkreuz eingetragen. So schneidet der Punkt x=2, den Punkt y=8. Ihr Schnittpunkt ist einer der Punkte, die den Graph bestimmt.
Nullstellen werden berechnet in dem die Funktionsgleichung null gesetzt wird. Beispiel: x²+2x=0. Die Nullstellen sind dann: 0 und -2. Die Ableitung der Funktion: 2x+2.
Da der Exponent gerade und positiv ist, handelt es sich um eine Parabel. Sie hat bei -2 und 0 ihre Nullstelle und den Tiefpunkt. Sie ist nach oben offen. Sie beginnt im ersten Quadranten des Koordinatenkreuzes und läuft durch den 2. Quadranten.

Einige Anwendungsgebiete

Proportionalitäten wie Kosten und Warenmengen, Umrechnung zweier Währungen oder vergangene Zeit und zurückgelegter Weg. Das gilt auch für indirekte Proportionalität wie Arbeiterzahl und Arbeitszeit.
Anwendungsgebiete liegen auch da vor, wo Größen quadratisch von einander abhängen.
Durch die Funktion kann auch potentieller Wachstum beschrieben werden. Exponentieller Wachstum wird durch eine exponentielle Funktion beschrieben.