Wenn die Zunahme einer Größe direkt abhängt von der momentanen Quantität dieser Größe, dann ergibt sich daraus ihr exponentielles Wachstum. Ein Beispiel:

Jeder, der einmal eine Infektion hatte, kennt das ein bisschen. Eine typische Vermehrungsrate bei Bakterien ist die Verdoppelung innerhalb von ca. 20 Minuten. Das passiert so nachgewiesen bei der Anzüchtung in der Petrischale im Labor, aber Gott sei Dank nicht immer in unserem Körper, wenn unser Abwehrsystem etwas dagegen hält. Starten wir das Experiment also zum Zeitpunkt null mit 1000 Bakterien, dann würde sich bei der Bakterienpopulation die folgende Zeitreihe ergeben:

Zeit in Minuten / Anzahl Bakterien
0 / 1000
20 / 2000
40 / 4000
60 / 8000
80 / 16000
100 / 32000
usw.

Wer sich mal die Mühe macht, diese Zahlen in einer Grafik darzustellen, sieht einen Graphen, der ein ganz typisches, exponentielles Wachstum repräsentiert. Mit etwas Konzentration gelingt einem das aber auch in der Fantasie, sozusagen vor dem geistigen Auge. Eine mindestens ebenso dramatische Situation liegt vor beim Wachstum der Weltbevölkerung, die allerdings für ihre Verdoppelung etwas länger braucht. Plausibel ist dabei, dass wir um so mehr Nachkommen haben, je mehr Menschen auf diesem Planeten leben (mehr Eltern = mehr Kinder). Die meisten Probleme, die wir Menschen heute haben, würden sich in Nichts auflösen, wenn die Weltbevölkerung deutlich kleiner wäre. Das impliziert umgekehrt auch, dass die Anzahl und Intensität der Menschheitsprobleme immer weiter zunimmt, wenn es uns nicht gelingt, das exponentielle Wachstum der Weltbevölkerung zu stoppen. So gesehen ist exponentielles Wachstum eine Geißel.

Stimmt nicht, könnte man anführen am Beispiel Zinsen. Ja, es gab tatsächlich in Deutschland mal Anleihen, die mit 8% verzinst wurden, lange ist das her. Auch in solchem Fall des langfristigen Sparens handelt es sich um ein exponentielles Wachstum, denn die Zinsen kommen (bei vereinbarter Thesaurierung) jedes Jahr zu der angelegten Summe hinzu, das heißt, dass der Betrag, der im nächsten Jahr verzinst wird, um den Zinsbeitrag aufgestockt wird mit der Folge, dass der Zinsgewinn im nächsten Jahr noch größer wird. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom Zinseszins. Bei dieser Form der Geldanlage kann eine Verdoppelung in Zeiträumen von 5 bis 10 Jahren erreicht werden. Im Ergebnis liegt also auch hier ein exponentielles Wachstum vor.

Mathematisch wird exponentielles Wachstum mit der so genannten e-Funktion dargestellt:

Z(t) = Z(0) mal e hoch alpha mal t

Die Zahl oder Menge Z(t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist gleich einem Anfangswert Z(0) zum Startzeitpunkt null multipliziert mit der Euler’schen Zahl e mit der (Lauf)Zeit im Exponenten. Dabei ist alpha ein Faktor im Exponenten, der sozusagen die Steilheit der e-Funktion bestimmt.

Die Euler’sche Zahl e ist eine irrationale Zahl mit dem Wert 2,718281828459…..
(irrational bedeutet, dass diese Zahl unendliche viele Nachkommastellen besitzt und nicht eindeutig als Quotient zweier Zahlen ausgedrückt werden kann.)
Exponentielles Wachstum ist in der Natur immer direkt mit dieser Euler’schen Zahl verknüpft; rein mathematisch kann exponentielles Wachstum auch mit jeder anderen Basiszahl ausgedrückt werden. Zusätzlich gibt es noch die Exponentialfunktion, die Umkehrfunktion, die Potenzfunktion und die Logarithmusfunktion