Eine Umkehrfunktion oder auch inverse Funktion ist eine mathematische Operation, die bei der Berechnung komplexer Funktionen eingesetzt werden kann. Dabei werden durch die Vertauschung von Variablen Funktionen erstellt, die eine Wertumkehrung darstellen.

Berechnung bei linearen Funktionen

Eine Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist relativ einfach zu berechnen. Zunächst löst man die eigentliche Funktion nach einer Variable hin auf und tauscht diese dann mit der anderen Variable aus. Hierzu ein Beispiel: die lineare Funktion heißt y = 4x – 2. Zum Lösen verschiebt man zunächst einen Wert auf die linke Seite der Gleichung, also y – 2 = 4x. Anschließend wird nach x aufgelöst, also (y -2) : 4 = x. Im letzten Schritt tauscht man die beiden Variablen aus, sodass die Umkehrfunktion von y = 4x – 2 fertig gelöst y = x/4 – 2/4 heißen würde. Für x kann man dann wie gewohnt verschiedene Werte einsetzen, um y zu lösen. Der Graph dieser Funktion würde dabei spiegelsymmetrisch zur ursprünglichen linearen Funktion verlaufen.

Berechnung bei exponentiellen Funktionen

Funktionen, in denen quadratische Variablen vorkommen, können nicht so einfach wie eine lineare Funktion umgekehrt. Denn zur Bildung eines exponentiellen Wachstums sind immer mehrere Lösungen möglich. Das einfachste Beispiel hierbei wäre: y = x². Zur Auflösung wäre dann der erste Schritt ?y = {-x,x}. Weil es hierbei zwei Austauschmöglichkeiten für x gibt, gibt es auch zwei dazugehörige inverse Funktionen, nämlich y = ?x und y = – ?x. Exponentielle Funktionen haben somit auch mehrere Graphen, die durch die Umkehrung gebildet werden können.

Berechnung mit Logarithmen

Eine Umkehrfunktion kann auch eine Logarithmusfunktion darstellen. Diese Rechnung wird aber meistens nur angewendet, wenn die ursprüngliche Potenzfunktion eine Variable mit 2, 10 oder der Eulerschen Zahl beinhaltet. Nimmt man als Beispiel die Funktion y = e hoch x. In der Auflösung würde man dann den natürlichen Logarithmus von e ln benutzen, also ln(y) = x. Durch die Vertauschung würde daraus dann die fertige Umkehrfunktion y = ln(x) daraus. Aber auch hier würde man nicht eine einzelne Lösung, sondern eine Lösungsmenge erhalten und damit auch mehrere Graphen zur Projektion der Umkehrfunktion darstellen können.Daneben gibt es noch die Potenzfunktion.