Die geometrische Reihe ist quasi eine Auflistung von Zahlenwerten, die meistens schon auf den ersten Blick mathematisch irgend etwas miteinander zu tun haben. Diese Reihenmitglieder sind z. B. durch Kommata voneinander getrennt.

Erst bei der geometrischen Folge kommt das Summenzeichen (ein großes griechisches S) ins Spiel; hierbei werden alle Folgemitglieder miteinander aufsummiert. Deshalb kann man es so ausdrücken:
Die geometrische Reihe ist die Auflistung aller Mitglieder bzw. Elemente einer geometrischen Folge, und deshalb müssen wir uns mit Folgen beschäftigen, wenn wir die geometrische Reihe verstehen wollen. Ganz allgemein kann jede geometrische Folge ziemlich kurz so ausgedrückt werden:

alpha.Summe(Qk)

[lies: alpha mal Summe von k gleich null bis unendlich von Q hoch k]

alpha ist ein beliebiger Faktor, der auch in die Summe hinein geschrieben werden kann, Q ist ein beliebiger Quotient und k ist ein Exponent und stets Element aus der Menge der Natürlichen Zahlen einschließlich der Null. (Mit anderen Worten: k wird dabei einfach nur hochgezählt – 0, 1, 2, 3, ……). Damit und mit den folgenden Beispielen wird auch sofort deutlich, dass und warum die einzelnen Folgemitglieder mathematisch etwas miteinander zu tun haben müssen, wie oben bereits angedeutet wurde.

Beispiel 1: alpha = 1; Q = 1/2
Folge 1: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ……
Bei einem Quotienten kleiner als 1 werden die Elemente der Folge immer kleiner bis sie im Unendlichen zu null werden. Daher hat diese Summe auch einen endlichen Wert, der nach dieser einfachen Formel berechnet werden kann:
Grenzwert = alpha/(1-Q) = 2
Die geometrische Folge bzw. ihre geometrische Reihe konvergiert oder hat Konvergenz.

Beispiel 2: alpha = -0.5; Q = 2/1
Folge 2: -0.5 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 -128 -256 – ……
Bei Quotienten größer (oder gleich 1) werden die einzelnen Elemente immer größer (in diesem Beispiel mal mit negativem Vorzeichen), eine Konvergenz kann es nicht geben, ganz im Gegenteil, hier spricht man von einer Divergenz der geometrischen Reihe; ihre Summe wird unendlich groß.

Partialsummen

Auch die Reihe aller so genannter Partialsummen (Teilsummen) kann man als geometrische Reihe auffassen. Dabei ist jedes einzelne Reihenmitglied selbst eine begrenzte Folge, wobei die Folgemitglieder stets um ein weiteres anwachsen; mathematisch lässt sich dies fast plausibler so ausdrücken:
alpha.Summe(Qk) [Summe von k=0 bis k=0],
alpha.Summe(Qk) [Summe von k=0 bis k=1],
alpha.Summe(Qk) [Summe von k=0 bis k=2],
alpha.Summe(Qk) [Summe von k=0 bis k=3],
alpha.Summe(Qk) [Summe von k=0 bis k=4], …..
Bezogen auf das obige Beispiel 1 würde sich dann diese Folge ergeben:
1, 1.5, 1.75, 1.875, ……

Fibonacci-Folge

Leonardo Fibonacci versuchte bereits im Jahre 1202 das Wachstum einer Kaninchen-Population mathematisch zu verstehen und postulierte daher diese Folge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ……
[man kann ganz vorne auch noch die Null dazu stellen]
Es erübrigt sich wohl zu erwähnen, dass diese Folge (gefährlich) divergent ist, wie man es auch an der Explosion der Weltbevölkerung erkennt. Diese Reihe war übrigens nachweislich bereits den Griechen und Indern bekannt. Welches Bildungsgesetz für die einzelnen Elemente steckt dahinter ?
Jede Zahl ergibt sich aus der Summe seiner beiden Vorgänger in der Art:
Z(i) = Z(i-1) + Z(i-2)
In der Natur gibt es viele Beispiele, gerade bei spiralförmigen Strukturen, bei denen diese Zahlenreihe eine wichtige Rolle spielt.

In der analytischen Geometrie und in der Algebra wird die Tatsache ausgenutzt, dass jede Funktion bzw. jeder Funktionswert in seiner Umgebung durch eine Folge bzw. durch eine geometrische Reihe angenähert werden kann. Eine typische Anwendung ist die Taylor-Reihe. Bei komplexen Modellrechnungen, wo Funktionen von vielen (physikalischen) Parametern modelliert werden, wie es beispielsweise in der Meteorologie oder in der Geophysik Gang und Gäbe ist, kann man die optimale Zusammenstellung der interagierenden Modellparameter durch eine Linearisierung der Funktion heraus finden. Diese Linearisierung besteht darin, die Annäherung durch die Taylorreihe bereits nach dem ersten (linearen) Glied abzubrechen, wobei man eine Ungenauigkeit akzeptiert. So lässt sich die notwendige Änderung (in etwa) aller Parameter für diese bzw. die nächste Iteration ermitteln. Derartige (numerische) Verfahren werden unter dem Stichwort Modelloptimierung detailliert beschrieben.