Eine Folge kann aus unendlich vielen Elementen bestehen. Vor allem reelle Folgen sind immer unendlich. Liegen bei einer Folge ab einem bestimmten Zähl-Index alle weiteren Elemente der Folge im Umfeld einer Zahl Z, ist Z ihr Grenzwert. Da diese Folge nun einen Grenzwert hat, besitzt sie die mathematische Eigenschaft der Konvergenz. Ohne einen Grenzwert spricht man von der Divergenz der Folge.

Beispiel für fehlende Konvergenz

Man wählt als Zahlenbereich einer Folge die natürlichen Zahlen aus. Dann wird ab 0 oder 1 jedes Element der Folge zu seinem Nachfolger addiert und man schreibt das Ergebnis jeweils als nächstes Folgenglied auf. Auf diese Weise erhält man die Fibonacci-Folge (0, 1, 1, 2, 3, 5…). Da die natürlichen Zahlen unbegrenzt sind, kann man das beliebig fortführen, der Zahlenwert wird immer weiter steigen, aber er wird sich nie einer bestimmten Zahl annähern. Hier kann es also keine Konvergenz geben.

Was ist eine geometrische Reihe

Reihen können ebenfalls unendlich sein, müssen es aber nicht. Es kommt darauf an, wie man sie betrachtet. Eine Reihe ist zunächst die endliche Summe der Elemente einer Folge X. Die Summe wird durch den gewählten Zähl-Index begrenzt. Ist die Folge X selbst unendlich, ist es auch die Reihe aller Summen dieser Folge. Man kann dann unendliche viele Indizes auswählen, bis zu denen man jeweils die einzelnen Elemente der Folge aufsummiert.

Eine Geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Ein Folgenglied berechnet sich so:

an = a1 * q^n-1.

Für die gesamte Summe S gilt die Berechnung: 1 – a^n-1 / 1 – a.

Konvergenz geometrischer Reihen

Die Konvergenz einer geometrischen Reihe tritt dann ein, wenn

  • sich die Folge der Teilsummen einem Zahlwert annähert
  • der Betrag der Berechnung für die Summe S kleiner als Eins ist
  • das erste Element der Summenfolge gleich Null ist.

Man kann sich die Konvergenz dieser Reihen mit Hilfe der Geometrie verdeutlichen. Man zeichnet auf ein Stück kariertes Papier ein Quadrat und daneben jeweils ein weiteres Quadrat, das man im gleichbleibendem Verhältnis verkleinert. Bald wird es nicht mehr möglich sein, noch kleiner zu zeichnen. Dann addiert man die Flächeninhalte aller Quadrate. Bis zu einem gewissen Grad erhöht sich die natürliche Zahl vor dem Komma. Irgendwann, selbst wenn man noch so klein zeichnen könnte, wird sich diese Zahl nicht mehr verändern. Damit ist die Konvergenz der geometrische Reihe anschaulich gezeigt.