Um ein kartesisches Produkt zweier Mengen zu berechnen, werden alle einzelnen Elemente beider Mengen miteinander verbunden. Dabei ist die Reihenfolge der verbundenen Paare sowie die Reihenfolge innerhalb der Paare genau festgelegt. Das Ergebnis der Berechnung wird Produktmenge oder Verbindungsmenge genannt. Mit der Definition des kartesischen Produkts durch den Mathematiker Descartes fand das Teilgebiet der Analysis durch Einführen des kartesischen Koordinatensystems seinen Ursprung.

Berechnung

Ein kartesisches Produkt kann durch den Aufbau eines Schachbrettes erklärt werden. Hierbei ist jeder Wert der Vertikale mit jedem Wert der Horizontale verbunden. Bezeichnet die Horizontale die Menge aller x-Werte (X) und die Vertikale die Menge aller y-Werte (Y), so kann jedem x-Wert ein beliebiger y-Wert zugeordnet werden und umgekehrt. Die Berechnung des kartesischen Produkts wird demnach statt eines Punktes als Multiplikationszeichen mit einem Kreuz beschrieben (sprich: X kreuz Y). Beinhaltet X die Elemente a,b und c und Y die Elemente 1,2 und 3, so ist das kartesische Produkt die Menge aller Verbindungen (a,1;a,2;a,3;b,1;b,2;b,3;c,1;c,2;c,3). Dabei ist das Einhalten der Reihenfolge unbedingt vonnöten.

Besonderheiten

Gelegentlich wird ein kartesisches Produkt auch als Kreuzprodukt oder Vektorprodukt bezeichnet. Diese Begriffe definieren jedoch unterschiedliche Rechenarten, da bei der Errechnung des Kreuz- oder Vektorprodukts ein festgelegtes System aus Multiplikationen und Subtraktionen der verschiedenen Terme aus X un Y angewendet wird. Bei der Berechnung eines kartesischen Produkts wird jedoch jedes Element mit jedem verbunden.
Daraus ergeben sich im Unterschied zum Kreuzprodukt folgende Eigenschaften:

  • Ein kartesisches Produkt aus X und Y ist nicht dasselbe wie eines aus Y und X, da dann die Reihenfolge der Verbindungen untereinander umgekehrt ist.
  • Eine Menge kann ebenfalls mit sich selbst gekreuzt werden.
  • Die Anzahl aller Ergebnisse des kartesischen Produktes ergibt sich durch Multiplizieren aus der Anzahlen der Ausgangsmengen. Allerdings kann ein kartesisches Produkt nur eine leere Menge besitzen, wenn beide Ausgangsmengen leere Mengen sind. Ist eine ungleich „0“, so besitzt das kartesische Produkt immer ein Ergebnis.

Anwendung

Diese Art, aus zwei bestehenden Mengen eine neue zu erschaffen, findet vorallem bei der Lagebestimmung von Körpern oder anderen Elementen seine Verwendung. In einem Koordinatensystem heißt ein Element Koordinate und das geordnete Paar Funktionswert. Somit kann die Lage eines Puktes in einem Koordinatensystem beschrieben werden. Dies funktioniert ebenfalls im dreidimensionalen Raum durch ein kartesisches Produkt aus drei Ausgangsmengen. Dieses System wird ebenfalls bei der geographischen Lagebestimmung, etwa in der Schiff- und Luftfahrt oder der Lage von Punkten im Gradnetz der Erde angewendet. Ein Schachbrett oder das Feld des Spiels „Schiffe versenken“ ist ebenfalls durch ein kartesisches Produkt aufgebaut.