Das Kreuzprodukt zweier Vektoren – gerne auch als kartesisches Produkt oder Vektorprodukt bezeichnet – bildet von diesen direkt einen Vektor ab. Dieser Vektor steht dabei senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren – von welchen das Vektorprodukt gebildet wird – aufgespannt wird. Zugleich bildet die Länge des Vektors direkt die Fläche des von den Vektoren eingeschlossenen Parallelogrames ab. Der Rechenoperator des Kreuzproduktes wird direkt als Malkreuz „x“ geschrieben, um es beispielsweise von dem Skalarprodukt zu unterscheiden.

Die Ausführung der Kreuzprodukt Berechnung

Gegeben seien die Vektoren d und e. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren wird durch „Überkreuzmultiplikation“ der jeweiligen Richtungselemente der Vektoren berechnet.
d x e = (dx, dy, dz) x (ex, ey, ez)
x-Richtung: (dy*ez – dz*ey)
y-Richtung: (dz*ex – dx*ez)
z-Richtung: (dx*ey – dy*ex)

Ein Rechtssystem mit dem Kreuzprodukt berechnen

Wie eingangs beschrieben kann man den korrespondierenden senkrechten Vektor einer Ebene, die von zwei Vektoren aufgespannt wird, mit dem Kreuzprodukt berechnen. Zusätzlich bildet dieser orthogonale Vektor mit den beiden Vektoren ein Rechtssystem. Dieses kann ganz einfach mit der „Rechten Hand Regel“ bestimmt werden:
Gegeben sei das Kreuzprodukt a x b:
Die Rechte Hand Regel wird nun so angewandt, dass der Daumen in Richtung des erstgenannten Vektors des Kreuzproduktes zeigt und der Zeigefinger in Richtung des zweitgenannten Vektors. Somit zeigt der Daumen in diesem Beispiel in die Richtung von a und der Zeigefinger in die Richtung des Vektors b.

Wird nun der Zeigefinger abgespreizt, so ergibt sich der korrespondierende Vektor aus dem Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren. Dieser bildet mit ihnen ein Rechtssystem. Mit der Rechten Hand Regel kann im Übrigen auch geprüft werden, ob es sich bei vorliegenden Vektoren um ein Rechts- oder Linkssystem handelt. Wäre es ein Linkssystem so würde der Vektor, welcher eigentlich in die Richtung des Mittelfingers zeigen müsste, in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

Das Spatprodukt und damit einen Rauminhalt mit dem Kreuzprodukt berechnen

Das Spatprodukt ist ein wichtiger Anwendungsfall in der Vektorenrechnung, welches sich mit dem Kreuzprodukt berechnen lässt. Das Spatprodukt selbst ist definiert als das Skalarprodukt zwischen einem Vektor f und dem Kreuzprodukt aus den Vektoren d und e.

Das Ergebnis des Spatproduktes ist somit eine reelle Zahl, die negativ oder positiv sein kann. Dies rührt daher, weil das Spatprodukt die orientierten Volumina der Spate angibt. Somit können diese auch negativ sein. Das eigentliche nominelle Volumen ist somit der Betrag des Spatproduktes. Somit kann mit dem Spatprodukt der Rauminhalt eines Parallelepipdeden berechnet werden