Das Spatprodukt ist in der Mathematik als Skalarprodukt zwischen einem Vektor c und dem Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt zwischen den Vektoren a, b definiert. Das Spatprodukt von den Vektoren a,b,c lässt sich also folgendermaßen schreiben: ( a x b ) * c = S-Produkt

Es stellt also direkt das orientierte Volumen des Spates – auch als Parallelepipded bezeichnet – das durch die drei Vektoren a,b,c aufgespannt wird. Der Betrag des Spatproduktes ist somit der Wert des Volumens des aufgespannten Raumes.

Das Vorzeichen vom Spatprodukt

Das Vorzeichen des Spatprodukts hängt davon ab, ob es sich um ein Rechts- oder Linkssystem handelt. Dies lässt sich mit der rechten Handregel ganz einfach bestimmen: Gegeben seien die Vektoren: a, b, c

Möchte man nun das Spat aus den Vektoren ( a x b ) * c berechnen, so kann das Vorzeichen bereits vorher bestimmt werden. Dabei zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors a. Der Zeigefinger zeigt in Richtung des Vektors b. Nun wird der Zeigefinger orthogonal – also senkrecht – zu den beiden anderen Fingern ausgestreckt. Dieser gibt nun die Richtung des korrespondierenden Vektors des Rechtssystems aus. Wenn also der Vektor c in die Richtung des Mittelfingers zeigt, so liegt ein Rechtssystem vor. Zeigt er jedoch genau in die andere Richtung des nun ausgestreckten Mittelfingers, so wird ein Linkssystem berechnet.

Das Kreuzprodukt berechnen

Beim Skalarprodukt ist die Berechnung relativ einfach. Dort werden einfach die einzelnen Richtungen der Vektoren miteinander multipliziert und als Skalar, also reelle Zahl miteinander addiert. Beim Kreuzprodukt – oder gerne auch als kartesisches Produkt bezeichnet – geht dies nicht so einfach. Zum Berechnen des Spatprodukts ist das Skalarprodukt jedoch enorm wichtig.

Berechnet wird es wie der Name schon sagt „über Kreuz“ der einzelnen Richtungselemente des Vektors. Gegeben seien die Vektoren a und b. Möchte man von ihnen nun das Kreuzprodukt bilden, so gilt:

a x b = (ax, ay, az) x (bx, by, bz)

x-Richtung: (ay*bz – az*by)
y-Richtung: (az*bx – ax*bz)
z-Richtung: (ax*by – ay*bx)

Wie man sieht benötigt das Berechnen des Kreuzproduktes etwas mehr Aufmerksamkeit als das Skalarprodukt. Doch wenn man das Kreuzprodukt erstmal berechnet hat, so ist das Spatprodukt des aufgespannten Raumes auch kein Problem mehr.