Vektorprodukt ist ein Begriff aus der Mathematik. Es wird auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Kreuzprodukt genannt. Es entsteht durch Multiplikation zweier Vektoren.

Ein Vektor ist eine Liste von Zahlen; beispielsweise (2,4,3). Ein Vektor kann durch einen Namen symbolisiert werden. Verschiedene Möglichkeiten existieren, um jenen zu schreiben. In diesem Beitrag werden Vektorbezechnungen fett geschrieben. Damit wird die im englischsprachigen Raum übliche Schreibweise übernommen.

In der analytischen Geometrie beschreibt ein Vektor eine Verschiebung. Beispielsweise bezeichnet der Vektor u = (2,4,3) eine Verschiebung um 2 in x-Richtung, um 4 in y-Richtung und um 3 in z-Richtung. Die Physik verwendet den Vektor, um Betrag und Richtung einer Größe darzustellen. Beispielsweise beschreibt sie die Geschwindigkeit als Vektor. Der Grund sei anhand eines Beispiels veranschaulicht. Bei einem fahrenden Auto interessiert nicht nur wie schnell es unterwegs ist (Betrag). Man möchte auch wissen, wohin es fährt (Richtung).

Multipliziert man zwei Vektoren zum Vektorprodukt, verwendet man ein Kreux (x) als Multiplikationszeichen. Beispielsweise bedeutet a x b (gelesen: a Kreuz b): Vektorprodukt, gebildet aus den Vektoren a und b.

So wird das Vektorprodukt berechnet

a x b = ( a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = ( a2 b3 – a3 b2) e1 + ( a3 b1 – a1 b3) e2 + ( a1 b2 – a2 b1) e3

Ergebnis des Vektorprodukts ist wieder ein Vektor. Seine Richtung lässt sich auch durch die Dreifingerregel bestimmen. Sie sagt: Werden Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so abgespreizt, dass der Daumen in Richtung von a und der Zeigefinger in Richtung von b zeigt, so zeigt der Mittelfinger in Richtung von c.

Der Betrag von c entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

Ein Vektorprodukt lässt sich mit anderen Vektoren multiplizieren. Bildet man das Skalarprodukt zwischen einem Vektorprodukt und einem weiteren Vektor, erhält man das Spatprodukt. Das ist eine reele Zahl, die den Rauminhalt des von den drei Vektoren erzeugten Spats angibt.

Wofür wird es gebraucht?

Das Vektorprodukt wird zu verschiedenen Zwecken verwendet. Beispielsweise wird mit seiner Hilfe die Lorentz-Kraft berechnet. Das ist die Kraft, die auf Ladungsträger wirkt, die sich im Magnetfeld bewegen. Sie ist so gerichtet, dass sie orthogonal auf der Ebene steht, die Bewegungsrichtung der Ladungsträger und die Richtung der magnetischen Feldlinien aufspannen.