Die so genannte Kurvendiskussion stellt einen Teilbereich der Analysis, genauer gesagt der Differentialrechnung dar. Sie dient dazu sich den Verlauf einer bestimmten Funktion klarzumachen, indem charakteristische Stellen und Verläufe untersucht werden. Am Ende einer Kurvendiskussion sollte man dann in der Lage sein, den Graphen der Funktion annähernd genau zu zeichnen.

Bei der Kurvendiskussion beginnt man zunächst mit der Definitionsmenge, das heißt man untersucht, welche Zahlenmenge Teil der Funktion ist. Bei Funktionen mit einer Variablen im Nenner sind beispielsweise alle reellen Zahlen außer 0 in die Funktion einsetzbar.

Im nächsten Schritt untersucht man das Symmetrieverhalten der Funktion. Möglich sind dabei entweder Achsen- oder Punktsymmetrie. Liegt eine ganzrationale Funktion vor, lässt sich anhand der Exponenten leicht erkennen, um welche Art von Symmetrie es sich handelt. Gibt es nur gerade Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch, bei ungeraden Exponenten ist er punktsymmetrisch. Liegt beides vor, so gibt es entsprechend keine Symmetrie.

Im weiteren Verlauf der Kurvendiskussion, als Teilbereich der Differenzialrechnung, betrachtet man nun die Nullstellen der Funktion, indem man diese mit 0 gleichsetzt. So erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse. Für den y-Achsen Schnittpunkt setzt man entsprechend für x eine 0 ein.

Außerdem lassen sich so genannte Polstellen bestimmen. Dabei handelt es sich um eventuelle Lücken in einer Funktion, für die es keine y-Werte gibt. Im engen Zusammenhang damit stehen auch die Asymptoten, das heißt die Geraden, denen sich eine Funktion annähert, welche sie aber niemals berühren.
Dabei ist es auch wichtig das Verhalten der Funktion im Unendlichen zu beobachten. Mit Hilfe des Limes gegen unendlich zeigt sich, ob sich die Funktion irgendwann einem bestimmten y-Wert, also einer Asymptote, annähert oder einfach ins unendliche steigt oder fällt.

Im nächsten Schritt der Kurvendiskussion folgt die Bildung der Ableitungen der Funktion. Dazu muss man die jeweils geltende Ableitungsregel anwenden und so erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion aufstellen.

Mit diesen lässt sich nun die Kurvendiskussion fortführen. Zunächst bestimmt man die Extrempunkte einer Funktion also die Hoch- oder Tiefstellen. Dazu setzt man die erste Ableitung gleich 0 und erhält einen bestimmten x-Wert.
Zur Kontrolle muss dann die zweite Ableitung an dieser Stelle größer (bei einem Tiefpunkt) oder kleiner (bei einem Hochpunkt) als 0 sein.

Ein weiterer charakteristischer Punkt einer Funktion kann eine Wendestelle sein. Diese lässt sich mit Hilfe der zweiten Ableitung nachweisen. Dazu setzt man auch diese gleich 0 und prüft danach mit der dritten Ableitung ob der jeweilige x-Wert ein Ergebnis ergibt, welches nicht 0 ist.
Einen speziellen Wendepunkt stellt ein so genannter Sattelpunkt dar, bei dem zusätzlich auch die erste Ableitung gleich 0 sein muss.

Letztendlich kann man anhand der Kurvendiskussion nun den Graphen zeichnen und dabei die bedeutsamen Punkte kenntlich machen, sodass mein einen guten Überblick über die vorgegebene Funktion erhält.