Differentialrechnung in der Mathematik

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit Veränderungen von mathematischen Funktionen. Sie berechnet beispielsweise die Steigungsänderungen innerhalb einer quadratischen Funktion, mit Hilfe ihrer Ableitung. Sie zählt zu dem Bereich der Analysis und ist verwandt mit der Integralrechnung.

Ableitungsregeln

Die modernste und einfachste Methode der Differentialrechnung, Aussagen über die Steigung einer Funktion in einem Punkt zu treffen, ist mit Hilfe der Ableitungen, die vorallem von Leonhard Euler entwickelt wurden. Dazu gehören die:

Faktorregel

(a* f(x))´ = a * f´(x)
Sie besagt, dass der Faktor „a“ beim Ableiten übernommen wird. Er kann eine
beliebige Zahl sein und fällt nur weg, wenn er in der Form „a*x^0“ steht.
Beispiel:
f(x) = 3*x²+3*x^0 –> f´(x) = 3*2*x

Summenregel

(u + v)´ = u´+ v´ oder
(u – v)´ = u´- v´
Dass bedeutet, dass das Rechenzeichen mit übernommen werden muss, währed „u“ und „v“ jeder für sich mit Hilfe der Faktorenregel abgeleitet werden.
Beispiel:
f(x) = 1*x² – 3*x –> f´(x) = 2*1*x – 1*3

Produktregel

(u * v)´ = u´*v + v´*u
Sie kommt immer dann zum Einsatz, wenn zwischen den einzelnen Faktoren einer
Funktion ein „*“ steht.
Beispiel:
f(x) = (x² – 5) * (x³ + 1)
Jetzt muss festgelegt werden welcher Wert „u“ und „v“ zugewiesen wird.
u = x² – 5 v = x³ + 1
Dann wird „u“ und „v“ jedes für sich abgeleitet.
u´ = 2*x v´= 2*x²
Als letzten Schritt setzt man die abgeleitete Funktion, laut der oben genannten
Form, zusammen.
(u * v)´ = u´*v + v´*u –> f´(x) = (2*x) * (x³ + 1) + (2*x²) * (x² -5)
Gegebenenfalls kann jetzt noch vereinfacht werden.

Quotientenregel

(u / v)´ = (NAZ – ZAN) / N²
Ausgeschrieben: (Nenner * Ableitung des Zählers – Zähler * Ableitung des Nenners)
/ Nenner²
Beispiel:
f(x) = (3*x² -3) / ( 0.5*x³+ 4)
f´(x) = ((0.5*x³+ 4) * (6*x ) – (3*x² -3) *(3*0.5*x²)) / (0.5*x³ +4)²

Kettenregel

(u ° v)´ = u´(v) * v´
Dabei gilt, dass die äußere Funktion „u“ ist und „v“ die Innere.
Beispiel:
f(x) = 3*x^(4*x +2)
Substitution : z = 3*x
äußere Funktion: u= z^(4*x+2)
innere Funktion: v = 3*x
äußere Ableitung: u´= (4*x+2)*z^(4*x +1)
innere Ableitung: v´= 3
–> (4*x+2)*z^(4*x+1) *3
Rücksubstitution: f´(x) = (4*x+2)*3*x^(4*x+1) *3


Die Ableitungsregeln können in der Differentialrechnung so oft durchgeführt werden, bis die letzte Ableitung keine Funktionsvariablen mehr enthält. So kann eine umfangreiche Kurvendiskussion erstellen werden.
Es wird möglich:

  • Nullstellen (erste Ableitung)
  • Extrempunkte (zweite Ableitung)
  • Wendepunkte (dritte Ableitung)

zu bestimmen. Ohne die Funktion zu zeichnen kann man so mit Hilfe der Differentialrechnung Aussagen darüber treffen. Im Alltag finden diese Berechnungen beispielsweise ihre Verwendeung, bei der Bestimmung von Durchschnittsgeschwindigkeiten.

Die Ableitungen der Differentialrechnung bringen einige Besonderheiten mit sich.

° e^x wird abgeleitet zu e^x
° ln(x) wird abgeleitet zu 1/x
° sin(x) wird abgeleitet zu cos(x)
° cos(x) wird abgeleitet zu -sin(x)