Der Begriff Ableitung kommt meistenteils im Bezug auf Kurvendiskussionen in der Analysis vor. Die Analysis beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit Funktionen, Geraden und deren Beziehungen miteinander. Wesentlicher Bestandteil dabei ist die Differentialrechnung, die zur Errechnung der Lage einer Funktion, dessen Extrema, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Asymptoten sowie Funktionslücken, angewandt wird. Zum Untersuchen der Funktion auf diese Kennzeichen ist die Bildung von Ableitungen der Funktion häufig unumgänglich. Durch diese können lokale Extrempunkte, Wendepunkte und der Anstieg von Funktion und Tangente bestimmt werden.

Wie entsteht sie?

Die Ableitung einer Funktion stellt die dazu gehörige Tangente jedes Punktes des Graphen dar. So können durch diese die Anstiegswerte für jeden Punkt auf der Funktion berechnet werden. Spezielle Fälle treten bei lokalen Extrema und Wendepunkten auf. In einem Extrempunkt der Funktion, ist ihr Anstieg „0“, also die erste Ableitung „0“. Setzt man das erhaltene Ergebnis der Anstiegsgleichung in die zweite Ableitung ein, kann man ausrechnen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Erhält man einen negativen Wert, hat die Funktion in dem durch die erste Ableitung errechneten Punkt einen Hochpunkt. Ist dieser Wert positiv, liegt ein Tiefpunkt vor.

Dieses Verfahren kann auch zur Errechnung der Wendepunkte benutzt werden. Allerdings beginnt man mit dem „Nullsetzen“ der zweiten Ableitung und setzt das Ergebnis zum Prüfen in die dritte ein. Kommt eine Zahl, die nicht Null ist dabei heraus, liegt ein Wendepunkt vor.
Da nicht jede Funktion Extrema oder Wendepunkte enthält, bekommt man bei der Untersuchung entweder keine Ergebnisse heraus oder es entstehen falsche Aussagen.

formel1002a

Die Ableitung einer Funktion stellt die dazu gehörige Tangente jedes Punktes des Graphen dar.

Eigenschaften

Kann man eine Funktion ableiten, gilt sie als differenzierbar. Hat eine Funktion an einer Stelle eine Funktionslücke, eine Polstelle oder einen endlichen Sprung, gibt es an diesen Stellen auch keinen Wert. Demzufolge können beim Ableiten in diesen Punkten auch keine Ergebnisse entstehen.
Das Gegenstück des Differenzierens ist das Integrieren einer Funktion, durch das aus Ableitungen Funktionen gebildet werden können oder ein Integral der Funktion entsteht. Aus einer Stammfunktion (dem Integral) entsteht durch Ableiten eine Funktion.

Generell sind die Ableitungen von der Funktion unterschiedlich. Einzige Ausnahme ist das Ableiten der Euler´schen Zahl. Diese wird niemals verändert. Ebenfalls eine Besonderheit stellt das Ableiten des natürlichen Logarhythmus´ dar, dessen Ableitung das Reziproke von „x“ ist.

Ganz einfach ableiten

Der erste Schritt, wenn es darum geht, dass man eine Ableitung konkret herleiten will, ist die Analyse der Struktur der gegebenen Funktion. Handelt es sich schlicht um ein Polynom (z. B. (x4+5x3-27)/(x4)), oder sind mehrere Arten von Funktionen miteinander verwoben? Falls ja, welche Arten von Funktionen tauchen auf und in welchem Verhältnis stehen sie zueinander? Kann man die gegebene Funktion als Produkt zweier Funktionen miteinander interpretieren, als Quotient (Bruch), oder sind die Funktionen gar verkettet (das heißt man wendet eine Funktion quasi auf eine andere an – man bildet f(g(x)))?

Es gibt meist mehrere Möglichkeiten eine Ableitung herzuleiten

Selten gibt es nur eine einzige Möglichkeit, wenn man eine Ableitung zu einer gegebenen Funktion herleiten will. So ist es vor allem bei verketteten oder miteinander multiplizierten Funktionen generell leicht möglich, den Funktionsterm solange umzuformen, bis er nur noch durch ein ‚einfaches’ Polynom ausgedrückt werden kann. Die Ableitung hiervon kann man dann nur unter Verwendung der Potenzregel herleiten.

Die Umformungen sind aber oft lang und beinhalten viele Rechenschritte, wohingegen die Ableitungen mit der Produkt- oder Kettenregel unmittelbar hätten erfolgen können. Hier ist es also eine Frage der persönlichen Vorliebe und der Übung, welches Verfahren man zum Herleiten der Ableitung wählt. In der Regel ist es – da man die entsprechenden Formeln ja schließlich zur Verfügung hat – einfacher (da übersichtlicher), die gegebene Funktion so wenig wie möglich umzuformen, bevor man mit der Ableitung beginnt.

Jetzt wird abgeleitet

Beispielhaft wollen wir uns daher zwei Funktionen ansehen und jeweils die Ableitungen herleiten. Wir setzen

  • g(x) = ex * x bzw. exp(x) * x
  • f(x) = sin(x) * (x2 + 2x + 3)2

Bei g(x) sehen wir, dass es sich um ein Produkt aus zwei einzelnen Funktionen handelt. Die erste Funktion ist g1(x) = ex, die zweite ist g2(x) = x. Mit der Produktregel wissen wir, dass man die Ableitung von g(x) mit g1’(x) * g2(x) + g1(x) * g2’(x) herleiten kann. Es ist g1’(x) = ex und g2’(x) = 1. Dann ist g’(x) = ex * x + ex * 1= ex * (x+1).

Für f(x) müssen wir die Struktur mehrfach unterteilen. Die äußere Struktur ist wieder ein Produkt aus zwei Funktionen, f1(x) = sin(x) und f2(x) = (x2 + 2x + 3)2. Hierbei ist aber f2(x) selbst noch eine verkettete Funktion, nämlich f22(f21(x)), wobei f21(x) = x2 + 2x + 3 und f22(x) = x2. Die Ableitung von f1(x) ist schnell angegeben: cos(x).

Zur Ableitung von f2(x) müssen wir die Kettenregel anwenden, dazu aber vorher die Ableitungen der Funktionen f21(x) und f22 herleiten. Die Ableitungen ergeben sich jeweils einfach mit der Potenzregel: f21’(x) = 2x + 2, f22’(x) = 2x. Mit der Kettenregel gilt dann f2’(x) = f22’(f21(x)) * f21’(x) = 2(x2 + 2x + 3) * (2x + 2) = (x2 + 2x + 3) * (4x + 4).

Insgesamt kann man nun die Ableitung von f(x) herleiten: f’(x) = f1’(x) * f2(x) + f1(x) * f2’(x) = cos(x) * (x2 + 2x + 3)2 + sin(x) * (x2 + 2x + 3) * (4x + 4). Eine weitere Auflösung der Terme ist nicht sinnvoll, da man sehr viele Summanden erhalten würde, von denen man nur wenige zusammenfassen könnte.

Unsere Empfehlungen um Mathematik einfach zu lernen und zu verstehen