Die linearen Funktionen bezeichnen eine mathematische Abbildung der Form y=f(x)=mx+n. Sie sind damit eine Spezialform der Polynomfunktion, bei denen die Polynome höchsten 1.Grades sind. Die beiden Summanden der Linearen Funktion werden dabei als lineares (mx) und numerisches Glied (n) bezeichnet.

Grafische Darstellung

Lineare Funktionen stellen grafisch eine relativ einfache Struktur dar und werden innerhalb des Cartesischen Koordinatensystems als steigende oder fallende Geraden verdeutlicht.

Eigenschaften der Linearen Funktion

Grundsätzlich beinhaltet der Definitionsbereich alle x, die Element der reellen Zahlen sind von Minus- bis Plus-Unendlich. Ebenso fällt der Wertebereich aus, der alle y, die Element der reellen Zahlen sind enthält. Damit ist die Lineare Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich stetig und weist mit zunehmendem x-Wert entweder einen stets kleiner oder einen stets größer werdenden y-Wert auf, was sich auch in der klassischen Geradenstruktur innerhalb des Koordinatensystems zeigt.

Ebenso sind Lineare Funktionen differenzierbar. Bei der Linearen Funktion tritt dabei die Besonderheit auf, dass ihre erste Ableitung mit dem Wert von m identisch ist. Die erste Ableitung einer Linearen Funktion kommt damit stets ohne einen x-Wert aus. Daraus lässt sich schließen, dass der Anstieg einer linearen Funktion innerhalb des gesamten Definitionsbereichs konstant ist und den Wert m an jeder beliebigen Stelle x annimmt.

Der Anstieg m lässt sich für Lineare Funktionen somit auch mit der Formel f`(x)=m=(y1-y2)/(x1-x2), d.h. mit dem Quotienten aus der Differenz zweier Wertepaare errechnen.

Dabei gilt: Je größer m, umso steiler steigt die Gerade. Bei positivem m weist die Gerade einen steigenden Verlauf auf, bei negativem m fällt die Kurve, während sie bei m=0 konstant verläuft.

Ebenso ergibt sich die Nullstelle sehr leicht aus dem Wert n. So entspricht der Wert -n der einzigen Nullstelle einer jeden Linearen Funktion.

Lineare Funktion und Geradengleichung

Die Lineare Funktion stellt die klassische Struktur der Geradengleichung innerhalb der Analysis dar. Dabei kann sie jedoch auch in andere Formen der Geradengleichung umgewandelt werden, etwa in die geometrischen Formen oder andere Geradengleichungen der Analysis, wie die u.a. die Normalform.

Praktische Bedeutung

Lineare Funktionen bilden vor allem Wachstums- oder Schrumpfungsprozesse ab, bei denen die Intensität dieser Prozesse unabhängig von der Höhe des bestehenden x-Wertes ist (z.B. die Länge von Produktionsprozessen, doppelte Produktionsmenge bedeutet doppelte Maschinennutzung)