Ludwig Otto Hesse beschäftigte sich u.a. mit der analytischen Geometrie. Bei der nach ihm benannten „Hesseschen Normalform“ bzw. „Hesse-Normalform“ handelt es sich um eine sehr kurze, elegante Gleichung bzw. mathematische Darstellung, mit deren Hilfe z. B. die Lage einer Ebene E im euklidischen 3D Raum oder der (kürzeste) Abstand eines Punktes oder einer Geraden zu dieser Ebene eindeutig beschrieben bzw. bestimmt werden kann.

Eine Mindestvoraussetzung für das Verständnis der Hesseschen Normalform ist die Kenntnis dessen, was ein (Orts)Vektor ist, und wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist und berechnet wird. Vektoren werden in diesem Text fett gedruckt.

Der Trick bzw. die Eleganz bei der Darstellung einer Ebene in der Hesseschen Normalform besteht einfach darin, dass Hesse eine kurze Gleichung gefunden hat, die für jeden Punkt, der sich in der Ebene befindet, gleichermaßen gilt, eine Gleichung, die sich im Übrigen sogar leicht merken lässt:

r n0 – d = 0

d ist der kürzeste (senkrechte) Abstand vom Koordinatenursprung zur Ebene.
r ist der Ortsvektor zu einem beliebigen Aufpunkt.
n0 ist Normaleneinheitsvektor, der senkrecht auf der Ebene steht und die Länge 1 hat.

Beim Produkt r n0 handelt es sich um das so genannte Skalarprodukt von Vektoren, bei dem der Kosinuswert des Winkels, den beide Vektoren miteinander bilden, mit berücksichtigt wird.

Plausibilität

Die Hessesche Normalform wird vielleicht dann anschaulicher, wenn man zunächst einmal bestimmte Randbedingungen bzw. Sonderfälle betrachtet.

1.) Ortsvektor r und Normaleneinheitsvektor n0 sind parallel. In diesem Fall ist der Kosinuswert von null Grad gleich eins. Da n0 per Definition die Länge 1 hat, liefert das Skalarprodukt mit dem Ortsvektor r exakt die Länge, also den Betrag von r. Da hier die Parallelität beider Vektoren voraus gesetzt wurde, geht es um jenen speziellen Ortsvektor, der senkrecht zur Ebene gerichtet ist und damit zugleich den kürzesten Abstand zwischen Ebene und Ursprung darstellt. Deshalb hat r die Länge d, womit obige Gleichung der Hesseschen Normalform erfüllt ist.

2.) Der Ortsvektor r steht senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektor n0; sie bilden also miteinander einen 90-Grad-Winkel, dessen Kosinuswert bekanntlich gleich null ist. In diesem Sonderfall gilt die obige Gleichung nur dann, wenn d gleich null ist. Alle zum Normaleneinheitsvektor senkrechten Ortsvektoren bilden dann die Ebene E aus, die ihrerseits durch den Koordinatenursprung gehen muss.

Verallgemeinerung

Der Übergang vom dreidimensionalen Ortsvektor hin zum beliebigen n-dimensionalen Raum mit n-dimensionalen Ortsvektoren und Normalenvektoren ist mathematisch uneingeschränkt zulässig; insofern dient die Hessesche Normalform auch der Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen in n-dimensionalen (Vektor)Räumen.

Die drei bekannten, kartesischen Raumkoordinaten x, y und z können dabei durch sogenannte verallgemeinerte Koordinaten ersetzt werden, das können dann z.B. alle möglichen physikalischen Größen wie Temperatur, Druck, Magnetisierung, Salzkonzentration, pH-Wert usw. sein.