Mit der Geradengleichung wird in der Mathematik eine Gerade eindeutig beschrieben. Sie steht also für einen geometrischen Ort, welchen Punkte (x/y) eindeutig zugeordnet sind. In einer Geradengleichung kommt die Variable x nur in der ersten Potenz vor, deshalb wird die Gerade auch als lineare Funktion bezeichnet.

Darstellung im kartesischen Koordinatensystem

Dargestellt wird die Geradengleichung meist im karthesischen Koordinatensystem – wobei sich auf der horziontalen Abszisse der x-Wert und auf der vertikalen Ordinate der y-Wert befinden.

Eine Geradengleichung kann auch in der Geometrie im Raum – also im dreidimensionalen – vorkommen. Die entscheidende Rolle spielt sie jedoch im kartesischen Koordinatensystem.

Wie wird die Geradengleichung vollständig beschrieben?

Eine Gerade – genauer gesagt ihre Gleichung – kann durch zwei Punkte eindeutig bestimmt werden.

Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet: g: y = m*x + t

Hierin sind:

  • y: der Wert auf der vertikalen Ordinate
  • x: der Wert auf der horizontalen Abszisse
  • m: die Steigung der Geraden
  • t: der Schnittpunkt der Gerade mit der Ordinate (y-Achsenabschnitt)

Sonderfälle der linearen Funktion

Sonderfälle stellen dar:

  • Ursprungsgerade: y-Achsenabschnittswert = 0
  • senkrechte Gerade: Steigung m geht gegen unendlich
  • waagrechte Gerade: Steigung m ist gleich 0

Berechnung einer linearen Funktion mit Hilfe zweier Punkte

Die Steigung m einer linearen Gerade kann mit Hilfe des Differenzquotienten berechnet werden. Es seien die Punkte P1 (x1/y1) und P2 (x2/y2) gegeben. Nun soll die Geradengleichung der Geraden bestimmt werden, die durch diese zwei Punkte verläuft.

Die Steigung m wäre demnach: m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

Den Achsenabschnitt der Geraden könnte man ganz einfach durch Einsetzen einer der beiden Punkte erhalten – denn diese müssen auf der Geraden liegen. Angenommen es würden die Koordinaten von Punkte 1 eingesetzt würde gelten:

y1 = m*x1 + t
t = y1 – m*x1

Steigende und fallende Ursprungsgeraden

Eine solche Gerade ist immer dann steigend, wenn ihre Steigung einen positiven Wert annimmt. Dann verläuft die lineare Funktion vom 3. in den 1. Quadranten des Koordinatensystems.

Bei einer fallenden Geraden ist es genau umgekehrt – ihr Steigungswert ist negativ und sie geht vom 2. in den 4. Quadranten.

Nach Erhalt des Zahlenwerts für t kann die Geradengleichung vollständig angegeben werden.

Übungen zum Bestimmen einer Geradengleichung

Eine Gerade verläuft durch die Punkte P(2|4) und Q(4|10). Bestimmen Sie die dazugehörige Funktionsgleichung!

Da eine Gerade durch zwei Punkte bereits vollständig bestimmt ist, lässt sich die Geradengleichung aus den Koordinaten der beiden Punkte ermitteln.

In der allgemeinen Form der Geradengleichung

y = f(x) = m*x + n

steht m für den Anstieg der Gerade und n für den y-Achsenabschnitt.

Zunächst berechnen wir m. Da der Anstieg m dem Quotienten aus der Änderung in y und der dazugehörigen Änderung in x entspricht, berechnet sich m aus den Koordinaten der beiden Punkte wie folgt:

m = (yQ-yP) ÷ (xQ-xP)
m = (10-4) ÷ (4-2)
m = 6 ÷ 2
m = 3

(Hier steht yQ für den zum Punkt Q gehörigen y-Wert, xQ für den entsprechenden x-Wert, yP und xP sind die y- und x-Werte von Punkt P.)

Übrigens: Man hätte die Reihenfolge der Punkte bei der Berechnung auch vertauschen können, also stattdessen rechnen:

m = (yP-yQ) ÷ (xP-xQ)
m = (4-10) ÷ (2-4)
m = (-6) ÷ (-2)
m = 3

Wie man sieht, ergibt sich derselbe Wert für m. Aber das nur nebenbei!

Um den y-Achsenabschnitt n zu berechnen, setzt man den eben errechneten Wert von m und die beiden Koordinaten eines der Punkte P oder Q in die Geradengleichung ein. Die dann verbleibende Unbekannte ist n, das durch Umstellen der Gleichung errechnet wird.

Wir entscheiden uns dafür, die Rechnung mit den Koordinaten von P durchzuführen.

4 = 3*2 + n
4 = 6 + n | -6
-2 = n

Als Probe können wir prüfen, ob das so gefundene n auch zusammen mit den Koordinaten von Q(4|10) die Geradengleichung erfüllt.

Dargestellt wird die Geradengleichung meist im karthesischen Koordinatensystem.

Dargestellt wird die Geradengleichung meist im karthesischen Koordinatensystem.

Gilt 10 = 3*4 – 2 ?

Ja, denn 10 = 12-2

Das heißt, die ermittelten Werte von m und n sind korrekt und die gesuchte Geradengleichung lautet: y = f(x) = 3*x – 2

Mittels dieser Gleichung können wir nun für jedes beliebige x den dazugehörigen Funktionswert y = f(x) errechnen.

 

Um das Ermitteln einer Geradengleichung weiter zu üben, folgt hier noch ein zweites Beispiel. Diesmal geben wir die Punkte S(-6|0) und T(4|5) vor und suchen die dazugehörige Geradengleichung.

Wie oben errechnen wir zunächst den Anstieg m.

m = (yT-yS) ÷ (xT-xS)
m = (5 – 0) ÷ (4 – (-6))
m = 5 ÷ 10
m = 0,5

Nun setzen wir den für m ermittelten Wert zusammen mit den Koordinaten von S (wir hätten auch T wählen können) in die Geradengleichung ein und stellen nach n um.

0 = 0,5*(-6) + n
0 = -3 + n | +3
3 = n

Als Probe dient der Punkt T(4|5). Ist die Geradengleichung mit den Koordinaten von T und den errechneten Werten von m und n erfüllt?

Gilt 5 = 0,5*4 + 3 ?
Ja, denn 5 = 2 + 3

Die ermittelten Werte von m und n sind also korrekt und die gesuchte Geradengleichung lautet: y = f(x) = 0,5*x + 3