Integration durch Substitution – was ist das und wann kommt diese Berechnung zum Einsatz?

Wenn wir mit der Integration durch Substitution zu tun haben, beschäftigen wir uns mit der Mathematik – und zwar mit der sogenannten Höheren Mathematik. Es ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung und der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. In der Integration durch Substitution werden bestimmte Integrale und Stammfunktionen berechnet, um sich auf ein bekanntes, oder anders ausgedrückt, auf ein einfacher handhabendes Integral zu beschränken. In der Praxis schaut das so aus, dass bestimmte Gleichungen und Formeln hierfür angewendet werden. Es ist oft von vornherein nicht ersichtlich, was in einer Gleichung substituiert werden muss. Deshalb kommen bei der Integration durch Substitution sogenannte Integrale zum Einsatz, die zum Teil die Gleichung verändern. Bei den Berechnungen werden allgemeine Substitutionen durchgeführt, das heißt, der nicht substituierte Teil bleibt gleich und der verbleibende Teil wird durch eine Substitutionsformel ersetzt. Die Integration durch Substitution ist dann erfolgreich, wenn nur noch die neue Variable in der Gleichung vorkommt – praktisch ein Produkt herausreduziert wurde. Hier kann eine Art Probe gemacht werden, indem in der Gleichung geschaut wird, ob die verbleibenden Ableitungen der Substitutionen gleich groß sind – also der nicht substitunierte Term und der substitunierte Term. Ist dies der Fall reduzieren sie sich weg und eine erfolgreiche Integration durch Substitution ist vonstattengegangen.

Zum Einsatz kommen diese Berechnungen in der Integralrechnung, welches der wichtigste Zweig in der mathematischen Analyse ist. Entstanden ist die Integration durch Substitution aus einem Problem aus der Flächen- und Volumenberechnung heraus. Diese mathematischen Grundlagen werden an Hochschulen unterrichtet in den Natur- und Ingenieurwissenschaftlichen Studienrichtungen. Eng verwandt mit der Integralrechnung ist die Differenzialrechnung, die ein unverzichtbares Hilfsmittel ist, um mathematische Modelle zu bilden. Hier wird die Wirklichkeit abgebildet und eine nachfolgende Analyse ist gegeben. Natur- und Ingenieurwissenschaftler ziehen einen großen Nutzen aus der Integration durch Substitution, da sie ein wesentlicher Bestandteil der Analysis ist. Es gibt einfache Regeln, aber auch Formeln, die etwas komplizierter sind, doch basiert alles auf einem gewissen Grundschema und dient den Fachwissenschaften von Naturgesetzen.