Die Integration ist, mathematisch betrachtet, die Umkehrung der Differentiation. Ursprünglich kommt sie aus der Problematik, der Flächen- und Volumenberechnung. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integral. Im ersten Fall, wird der Fläche, oder dem Volumen, durch die Integration eine Zahl zugeordnet, im zweiten Fall eine Menge von Funktionen, sogenannten Stammfunktionen. Stammfunktionen sind Funktionen, die als erste Ableitung, die Form der zu integrierenden Funktion haben. Um diese Stammfunktionen zu bestimmen, gibt es unterschiedliche Integrationsregeln.

Allgemeine Integrationsregeln

Für unbestimmte Integrale gilt, dass die Stammfunktion F(x), der Funktion f(x), immer eine unbestimmte Konstante C mitführt. Bei bestimmten Integralen fällt diese Konstante weg, da das unbestimmte Integral, die Differenz der Stammfunktion, ausgewertet an den beiden Grenzen ist.

a?bf(x)dx=F(b)-F(a)

Eine der weiteren, allgemeinen Integrationsregel, ist die Linearität:

a?b(q*f(x)+p*g(x))dx=q*a?bf(x)dx+p*a?bg(x)dx

Die Integration wird umgangssprachlich auch „aufleiten“ genannt. Mathematisch bedeutet dies: Integration als Umkehrung der Differentiation. Und somit:

d/dx ?f(x)dx=f(x)

Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktionen

Potenzregel

Die Integration einer Konstanten erfolgt durch Multiplikation mit der Integrationsvariable:

?a dx=x*a

Diese Regel beruht auf der allgemeinen Potenzregel. Die Funktion xn wird integriert, indem der Exponent um 1 vergrößert und durch den neuen Exponenten geteilt wird.

?axn dx = xn+1/n+1 +C

Summenregel

Aufbauend auf der Linearität gilt die Summenregel. Das Integral über eine Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale über die Summanden der Ausgangsfunktion:

?(xn+xn-1+3) dx = ?xn dx +?xn-1 dx +?3 dx = xn+1/n+1 + xn/n+3x

Partielle Integration

Ist eine Funktion f(x) zu integrieren, die als eine Multiplikation zweier Funktionen u(x) und der Ableitung einer Funktion v(x) dargestellt werden kann, so muss diese partiell integriert werden. Das Integral über diese Verknüpfung ergibt sich als Multiplikation der beiden Ausgangsfunktionen u(x) und v(x), abzüglich des Integrals über die Funktion v(x) und die Ableitung von u(x):

?u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) – ?u'(x)’v(x) dx

Integration durch Substitution

Die ist eine, der wichtigsten Integrationsregeln. Hat man eine Funktion, die man mit den herkömmlichen Integrationsregeln nicht integrieren kann, so muss man einen Teil der Funktion substituieren, sodass man anschließend eine der ursprünglichen Integrationsregeln anwenden kann. Erklärt wird dies anhand eines Beispiels:
Die Funktion:

?1/ax+b dx

ist, aufgrund des Nenners, nicht standardmäßig zu integrieren. Der Nenner wird durch die Funktion z(x) substituiert. Da die Abhängigkeiten nun geändert wurden, muss auch die Integrationskonstante geändert werden.

z(x)=: ax+b ? a=dz/dx ? dx=dz/a

Dies wird nun in die Ausgangsfunktion eingesetzt und integriert.

?1/ax+b dx = ?1/z dz/a = 1/a ln|z| +C

Hierbei werden die Grenzen wieder wichtig. Die ursprünglichen x-Werte müssen ebenfalls zu z-Werten substituiert werden. Dabei wird eine beliebige Grenze s zu z(s)

a?b 1/ax+b dx = z(a)?z(b) 1/z dz/a

Integrationsregeln für bestimmte Beispiele

Eine besondere Funktion, bezüglich Differentiation und Integration, ist die e-Funktion. Das Integral der normalen e-Funktion, ist die e-Funktion. Dabei muss lediglich der Exponent beachtet werden. So muss, ähnlich wie bei der Potenzregel, bei einer Integration, der Kehrwert der Ableitung des Exponenten an die e-Funktion multipliziert werden.

?eax+bdx = 1/a eax+b +C

Eine weitere Integrationsregel bezieht sich auf den Logarithmus. Integriert man über die Ableitung einer Funktion, geteilt durch die Funktion selbst, so ergibt sich als Stammfunktion der Logarithmus.

?f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| +C

(Anmerkung: Sucht man die Stammfunktion über den Logarithmus, so integriert man partiell über die Multiplikation aus Logarithmus- und Einsfunktion.)

Sind Ableitung der Funktion und die Funktion in einer Multiplikation verknüpft, so ergibt sich die Stammfunktion in quadratischer Form:

?f(x)f'(x) dx = 1/2 (f(x))2 +C