Unter einer standardisierten Darstellung von rationalen Funktionen versteht man eine Partialbruchzerlegung. In der Mathematik findet sie um solche Funktionen zu erleichtern Verwendung. Besonders oft wird sie bei der Integration von rationalen Funktionen angewendet. Dies beruht auf der Tatsache, dass jede rationale Funktion als Bruch oder als Summe einer Polynomfunktion umgesetzt werden kann.

Dies geschieht in der Form a/(x-xi)j. Die Polstellen der Funktion werden dabei als xi bezeichnet. Sind die Polstellen allerdings bekannt besteht die eigentliche Aufgebe der Partialbruchzerlegung darin den Zähler a zu bestimmen. Die Polstellen xi und dadurch natürlich auch die Zahlen a müssen aber bei reellwertigen Funktionen aber durchaus nicht unbedingt reell sein. Die beruht darauf das die reellen Zahlen als nicht algebrisch abgeschlossen bezeichnet werden. Rechnungen mit komplexen Zahlen können aber vermieden werden, da man mit jeder komplexen Nullstelle Zi auch eine komplexe konjugierte Zahl als Nullstelle erhält. Wenn also der Nenner eines Bruches aus einer zusammengesetzten Zahl besteht, kann dieser als Summe von Partialbrüchen dargestellt werden.

Anwendungsgebiete dieser Bruchzerlegung

Benutzt wird sie vor allem zum Integrieren von rationalen Funktionen. Aufgrund der Tatsache, dass die Integrale von sämtlichen Partialbrüchen bekannt sind, ist eine Integration immer machbar. Natürlich nur wenn die Polstellen der Funktion bekannt sind. Weitere Anwendungsgebiete der Partialbruchzerlegung sind die Laplace- und die z-Transformation. Benötigt wird die Partialbruchzerlegung auch zum integrieren gebrochen rationaler Integraten. Dabei wird eine gebrochen rationale Funktion s(x) als Quotient der grenzrationalen, stetigen Funktionen bezeichnet. Der Funktionsbereich der Zerlegung von Partialbrüchen kann endlich viele Intervalle, bei denen gebrochenrationale Funktionen vorkommen, vereinen.

Die Partialbruchzerlegung und ihr Zusammenhang zur partiellen Integration

Bei der partiellen Integration wird die Berechnung von bestimmten Integralen vorgenommen. Dies geschieht damit die Stammfunktion bestimmt werden kann. Auch kann sie als ein Analogon zur Produktregelder Differentialrechnung angesehen werden. Als eine Verallgemeinerung der partiellen Integration bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen kann der Gaußsche Integralsatz mit einigen besonderen und speziellen Fällen stehen. Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung wird es möglich bestimmte gebrochene rationale Integraten zu integrieren. Da die Zerlegung von Partialbrüchen also auch zum Integrieren von rationalen Funktionen benutzt wird kann man sagen, dass hier ein eindeutiger Zusammenhang mit der partiellen Integration besteht.