In der Mathematik versteht man unter einer Funktion ganz allgemein zunächst eine Vorschrift. Diese Vorschrift ordnet einem Objekt, zum Beispiel einer Zahl, ein anderes Objekt zu. Funktionen dienen dazu, allgemeine Beziehungen zwischen solchen Objekten möglichst exakt zu formulieren. Um auf diese Objekte genauer eingehen zu können und zu verstehen, was bei der Anwendung einer Funktion auf diese geschieht, muss man den Begriff der Menge einführen.

Mengenbegriff und Abbildung

Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von Objekten. Beispiele für Mengen sind etwa:

  • Die Menge aller Männer, die auf der Erde leben
  • Eine Menge, in der sich nur Bücher in deutscher Sprache befinden
  • Die Menge aller ganzen positiven Zahlen (1,2,3.4,…)

Die Objekte, die sich in einer Menge befinden, bezeichnet man als ihre Elemente.

Eine Funktion unfasst nun, wie einleitend erwähnt, eine Vorschrift. Diese bezieht sich auf die Elemente von Mengen, genauer gesagt gibt die Vorschrift an, welche Beziehung zwischen einem Element (oder mehreren) einer Menge und dem einer anderen besteht. Man nennt Funktionen deshalb auch Abbildungen, denn sie bilden von einer Menge in eine andere ab. Man könnte etwa von der Menge aller Kinder auf die Menge aller Mütter abbilden. Jedem Kind wird genau eine Mutter zugeordnet. Hiermit wird auch eine erste wichtige Eigenschaft von Funktionen deutlich, die Eindeutigkeit. Jedem Element der ersten Menge muss genau ein Element der zweiten Menge (Bildmenge) zugeordnet werden. Für unser Beispiel bedeutet das: Jedes Kind kann genau eine Mutter haben, nicht zwei oder drei, jedoch kann eine Mutter beliebig viele Kinder haben.

Abstrakte Formulierung

Um eine Abbildung von anderen unterscheiden zu können, gibt man ihr eine konkrete Bezeichnung, z.B. f. f soll jetzt von der Menge X nach Y abbilden. Diese Mengen sind beliebig. Es können Zahlen, Mütter, Kinder oder Autos sein. Zur Veranschaulichung wählen wir Zahlen als Elemente und schreiben:

y = f(x)

wobei die Bildungsvorschrift folgende Gleichung sein soll:

f(x) = x/2.

Diese Vorschrift liefert jeweils die Hälfte von einer beliebigen Zahl x.

Abbildungen lassen sich grafisch darstellen, etwa in einem Koordinatensystem. Man bezeichnet dies als Graph der Funktion. An diese Kurve kann man in jedem Punkt eine Gerade anlegen, die die Steigung angibt. Möchte man für diese selbst wieder eine Vorschrift in Form einer Gleichung, so muss man die sogenannte Ableitung berechnen. Umgekehrt kann man von einer Ableitung (welches ebenso wieder eine beliebige Funktion sein kann) rückschließen auf ihren Ursprung, also die Funktion, von der man sie abgeleitet hat. Diese bezeichnet man als Stammfunktion.

 

Differential- und Integralrechnung

Mit den Stammfunktionen und Ableitungen beschäftigt sich die Differential- und Integralrechnung. Differential ist der Fachausdruck für Ableitung, während Integrale die Stammfunktionen liefern.

Die Ableitung kann man immer wieder bilden. Haben wir f(x) abgeleitet, erhalten wir f'(x), und durch weiteres Ableiten f“(x). Der Strich kennzeichnet also die laufende Nummer der Ableitung.

Kommen mehrere Ableitungen in einer Gleichung vor, nennt man dies eine Differentialgleichung, etwa:

f(x) = f'(x) + f“(x)

Hier ist eine Abbildung also über ihre erste (f‘) und zweite (f“) Ableitung definiert.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Funktionsbegriff ein sehr umfassendes Thema birgt. Funktionen können mit verschiedenen mathematischen Methoden untersucht und veranschaulicht werden. Sie bilden die Grundlage für allgemeine und spezielle Rechnungen im Alltag und Geschäftsleben sowie in Wissenschaft und Technik.