Gemeinsam mit der Differentialrechnung zählt die Integralrechnung zu den zentralen Elementen der Analysis. Sie wurde entwickelt um Probleme bei der Flächen- und Volumensberechnung lösen zu können. Die Integralrechnung wird dabei jedoch in bestimmte und unbestimmte Integrale unterteilt.

Das bestimmte Integral

Mit Hilfe des bestimmten Integrals wird einer Funktion eine Zahl zugeordnet, wobei das bestimmte Integral häufig mit einer Variablen gebildet wird. Dies ermöglicht es einem in einem zweidimensionalen Koordinatensystem eine Fläche zu bestimmen. Diese Fläche liegt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse und wird begrenzt durch 2 Geraden, die parallel zur y-Achse liegen.

Das unbestimmte Integral

Dieser Teil der Integralrechnung ordnet einer Funktion die Menge der Funktionen zu, die als Stammfunktion gelten. Die Eigenschaft einer solchen Stammfunktion, wobei es hier immer unendlich viele gibt, ist die, dass sie abgeleitet mit der integrierten Funktion übereinstimmt.

Die verschiedenen Rechenarten in der Integralrechnung

Das Besondere an der Integralrechnung ist, dass es hier im Gegensatz zur Differentialrechnung keinen einfachen Algorithmus gibt, der alle möglichen Fälle abdeckt. Es ist also erforderlich sich die verschiedenen Möglichkeiten zum Integrieren anzutrainieren, diese lauten:

  • die Partielle Integration
  • Integration durch Substitution
  • Umformung durch Partialbruchzerlegung

Weiterhin ist es natürlich auch möglich die Stammfunktionen mit Hilfe einer Tabelle nachzuschlagen oder die Summanden der Funktion nacheinander zu integrieren.

 


Beispiel:
Ein Beispiel für diese Anwendung sei die Funktion f(x)=6x²+5.
Hier kann man nun summandenweise die Integralrechnung anwenden. Die Stammfunktion lautet: F(x)=2x³+5x+c
c ist hierbei eine Integrationskonstante die immer einzuführen ist. Die anderen beiden Teile erhält man, indem man den Grad der jeweiligen Teile immer um eins erhöht. Aus den x² wird also ein x³ und außerdem den Vorfaktor von x² durch den neuen Exponenten dividiert. Beim zweiten Teil ist dies besonders einfach, da an eine Zahl ohne Variable immer nur ein x angehängt werden muss.
Ein besonderer Fall der Integralrechnung ist die e-Funktion, diese bleibt sowohl beim Ableiten, als auch beim Integrieren immer gleich.

Anwendungen der Integralrechnung

Die Anwendungen der Integralrechnung sind vielseitig. Zum einen wird sie natürlich dazu benutzt, um bestimmte Flächen mit Hilfe einer Funktion zu berechnen. So lässt sich beispielsweise für einen Graphen, der die Form eines Kanals beschreibt, die Integralrechnung so anwenden, dass man die Querschnitts Fläche des Kanals bestimmen kann. Darüberhinaus wird sie vor allem in der Physik verwendet, ein Beispiel hierfür ist die Geschwindigkeitsfunktion, denn wird diese zur Zeit integriert, so erhält man den zurückgelegten Weg.
Die Anwendungen reichen also auch in den physikalischen Bereich herein und sind damit ein Problem, welches uns im Alltag häufig begegnet.