Die Differentialgleichung ist eine Geleichung, bei der eine Ableitung vorkommt. Diese Form von Gleichungen kommt sehr häufig in wirtschaftlichen Kalkulationen vor. Egal, ob in der Produktion, dem Kostenmanagement oder bei Investitionsfragen, überall werden Ableitungen gebildet. Mithilfe von Ableitungen kann man Hochstellen, also Maxima und Minima ermitteln. In der Produktion oder der Kostenrechnung ist die Ableitung die so genannte Grenzfunktion, und hat somit noch wichtige Eigenschaften für den Ablauf einen Prozesses im Unternehmen.

Es gibt zwei Bedingungen zur Ermittlung von Hochpunkten, die notwendige und die hinreichende Bedingung. Die notwendige Bedingung besagt, dass die Ableitung der Ausgangsgleichung gleich null sein muss. Die notwendige Bedingung besagt, dass die zweite Ableitung der Ausgleichsgleichung ungleich null sein muss. Ist die Wert der zweiten Ableitung größer als null, ist es ein relativer Tiefpunkt, ist der Wert kleiner als null, hat man ein relatives Maximum ermittelt.
Eine Differentialgleichung ist also eine Ableitung. Es gibt aber auch verschiedene Formen von Differentialgleichungen. Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung handelt es sich um eine Ableitung die nur (noch) eine Variable enthält. Sei also die Funktion f(x) = 3x² gegeben, ist die Ableitung eine gewöhnliche Differentialgleichung. Die Ableitung wäre nämlich f‘(x) = 6x. Bei solchen Produkten, die aus einer Variablen und einer reellen Zahl bestehen, wird einfach der Exponent mit der reellen Zahl multipliziert und dann um eins verringert.

 


Etwas komplizierter wird es, wenn die Ausgangsfunktion nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen abhängig ist. So wird in der Wirtschaft eigentlich immer nicht nur mit einem Rohstoff produziert, sondern mit mehreren. Dann hängen die Kosten auch nicht nur von einer Variablen ab, sondern von dementsprechend vielen. Um solche Funktionen abzuleiten muss man die sogenannte partielle Differentialgleichung bilden. Dabei wird eine Funktion nach und nach immer zu je einer Variablen abgeleitet. Also zuerst nach x1, dann nach x2 und danach nach x3. Nehmen wir an, es sei die Funktion: f(x1, x2, x3) = x1 + 3×2 + x3, dann muss man wie oben beschrieben als erstes nach x1 ableiten. Die Ableitung nach x1 ist f‘(x1, x2, x3) = 3×2 + x3, bei dieser Ableitung werden alle Variablen bis auf x1 wie einen reelle Zahl behandelt, deswegen fallen sie nicht weg. Nach x2 wäre die Ableitung also: f‘(x1, x2, x3) = x1 +x3; und nach x3 wäre die Ableitung f‘(x1, x2, x3) = x1 + 3×2. Diese Gleichungen kann man zum Beispiel gleichsetzen um die entsprechenden Variablen auszurechnen. Auch bei der partiellen Differentialgleichung müssen die Ableitungen für einen Extrempunkt gleich null sein. Die Differentialgleichungen handeln also immer über Ableitungen.