Differentialgleichungen sind eine Gleichung aus der Mathematik, eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen. In der Gleichung können auch Ableitungen vorkommen. Viele Naturgesetze werden durch die Differentialgleichungen beschrieben. Eine Differentialgleichung beschreibt das Änderungsverhalten der Größen zueinander. Bei der Analysis sind Differentialgleichungen ein wichtiger Untersuchungsgegenstand. Die näherungsweise Lösung mit Hilfe numerischer Verfahren spielt eine wichtige Rolle für die Differentialgleichung. Es werden verschiedene Typen der Differentialgleichungen unterschieden. Sie können unabhängig voneinander gleichzeitig oder nebenher auftreten.

Gewöhnliche Differentialgleichungen: die gesuchte Funktion hängt von einer Variablen ab. Die Ableitungen kommen gewöhnlich nach einer Veränderlichen vor.
Z. B.: y= -2 * y(x) + 7
Die Formel wird nach x umgestellt und aufgelöst.

 

Diese Typen und Lösungen gibt es bei Differentialgleichungen:

Typ Lösungen y(x)
I y‘ = f(x)
Integral f(x)dx
II y‘ = g(y) Löse folgende Gleichung nach y auf:
Integral g(y)-1 dy = x+C
III Getrennte Variable
y‘ = f(x)g(y) Löse folgende Gleichung nach y auf:
Int g(y)-1dy = Int f(x)dx
IV Inhomogene lineare DGL
y’= a(x)y+b(x) und b nicht 0 Variation der Konstanten
eA(x) ( Int b(x)e-A(x)dx+C), A’=a
V Bernoulli-DGL
y‘ = f(x)y + h(x)yr, r aus R Substitution
z=y1-r ergibt z’=(1-r)f(x)z+(1-r)h(x), also Typ IV
VI Ricatti-DGL
y‘ = f(x) + g(x)y + h(x)y² Falls partikuläre Lösung u gefunden: Sustitution
z=y-u ergibt z’=(g(x)+2h(x)u(x))z+h(x)z², also Typ V
VII y‘ = f(x-1y) Substitution
z=x-1y ergibt z’=x-1(f(z)-z), also Typ III
VIII Spezielle Riccatti-DGL
y‘ = ax-2 + by2 mit a,b aus R Substitution
z=y-1 ergibt z’=-b-a(x-1z)2, also Typ VII

Weiterhin gibt es die partielle Differentialgleichungen. Dabei gibt es zunächst linear verlaufende partielle Gleichungen der Differentialgleichungen. Die gesuchte Funktion und ihre Ableitung gehen linear in die Gleichung ein. Allerdings muss nicht die Abhängigkeit zur Variablen linear sein. Weiterhin unterscheidet man semi-lineare Gleichungen. Diese gestalten sich als schwieriger. Auch kann es vorkommen, dass Gleichungen zweiter Ordnung sind.