Bei der mathematischen Ableitung handelt es sich um ein fundamentales Element in der Differentialrechnung, einem bedeutenden Bestandteil der Analysis und somit Teilgebiet der Mathematik. Die geometrische Entsprechung der Ableitung einer Funktion, welche auch als Differentialquotient bezeichnet wird, gleicht einer Tangentensteigung. Nach der Vorstellung von Leibniz handelt es sich bei der Ableitung einer mathematischen Funktion um einen Proportionalitätsfaktor, welcher die die Änderung des Eingabewertes und die Änderungen des daraus resultierenden Funktionswertes widerspiegelt. Eine Funktion gilt als differenzierbar, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor gegeben ist.Die Ableitungen werden unter anderem auch als Linearisierung der Funktion betrachtet. Für die Entwicklung mathematischer Modelle ist sie ein unverzichtbares Hilfsmittel und eignet sich hervorragend für die Bestimmung von Grenzwerten und findet auch in physikalischen Analysen, wie etwa Orts-Zeit Funktionen, Anwendung. In der Sprache der Geometrie stellt die Ableitung einer beliebigen Funktion die Steigung dieser in einem beliebigen Punkt, ganz allgemein dar.
Daher wird die Ableitung einer beliebigen Funktion in einem beliebigen Punkt des Graphen als Steigung der Tangente in diesem Punkt definiert.

Anwendung

In der Differentialrechnung findet die Ableitung oft Anwendung zur Berechnung von Extremwerten, um bestimmte Prozesse optimieren zu können. Im Allgemeinen kann die Funktion an Stellen, an welchen die Ableitung den Wert Null erreicht, Minima und Maxima enthalten.
Sie nimmt zudem eine bedeutende Rolle in der mathematischen Kurvendiskussion ein und ist ebenfalls hilfreich zur Bestimmung von Sattelpunkten, Wendepunkten, Konvexität und Monotonie. Auch in der Integralrechnung nimmt dieses Element der Mathematik eine entscheidene Position ein.

 

Berechnung

Die Berechnung der Ableitung ist von bestimmten Regeln abhängig. Allgemein gilt, sei die Funktion f(x)= x^n so ist deren Ableitung f´(x)= n*x^n-1
Zudem gelten noch andere Ableitungsregelnd, wie folgt:
Faktorregel: (a*f)´= a*f`
Summenregel: (g +/- h)´= g´+/- h`
Produktregel: (g*h)´= g´*h+ g*h´ Beispiel: f(x)= x^2*cos(x) -> f´(x)= 2x*cos(x) + x^2*(-sin(x))
Quotientenregel: (g/h)´= (g´*h-g*h´)/h^2 Beispiel: f(x)= x^3/sin(x)
-> f´(x)= (3x^2*sin(x)-x^3*cos(x))/sin^2(x)

Kettenregel: (g o h)´(x) = (g(h(x)))´= g´(h(x))*h´(x)
Beispiel: sin(2x)= 2*sin(2x)