Determinanten sind in der Mathematik wichtige Anhaltspunkte zur Untersuchung von Matrizen, bzw. allgemeiner von linearen Abbildungen. Sie sind nur definiert für quadratische Matrizen (also für solche, die gleich viele Zeilen und Spalten haben) bzw. für lineare Abbildungen, die zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen abbilden. Die Determinante selbst ist eine Funktion, die jeder Matrix (bzw. jeder Abbildung) der zugelassenen Form ein Körperelement (in der Regel eine Zahl) zuordnet.

Definition

Für jede natürliche Zahl n gibt es drei Eigenschaften, die eine eindeutig bestimmte Funktion der Determinanten ‚det’ zwischen den nxn-Matrizen und dem zugrundeliegenden Körper festlegen:

  • Die Determinantenfunktion ist eine Abbildung, die in jeder Zeile der Matrix linear ist. (Das bedeutet, dass man die Abbildung von einer Summe auf die einzelnen Summanden herunterbrechen kann und dass man konstante Faktoren heraus ziehen kann.)
  • Wenn der Rang der betrachteten Matrix kleiner ist als n (d. h. wenn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix nicht alle linear unabhängig sind), dann ist die Determinante der Matrix 0.
  • Die Determinante der Einheitsmatrix (der Matrix, bei der auf der Diagonalen überall der Eintrag 1 steht und die sonst nur Einträge 0 hat) ist 1.

Alternativ kann man die Determinanten auch induktiv definieren, indem man eine explizite Vorschrift für den Fall n=2 angibt und alle weiteren Fälle darauf zurückführt. Dazu sei aij der Eintrag von A in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und

  • Für n=2 ist die Determinante von A = a11*a22 – a12*a21.
  • Für ein beliebiges n größer als 2 berechnet man die Determinante von A, indem man für jedes j=1, …, n den Ausdruck (-1)1+j*a1j*det(A1j) berechnet, und dann alle diese Ausdrücke aufaddiert. Dabei bezeichnet A1j die Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix A durch Streichen der ersten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Den zweiten Punkt bezeichnet man als ‚Entwicklung nach der ersten Zeile’. Man könnte aber auch nach einer beliebigen anderen Zeile oder Spalte entwickeln.

Anwendungen

In der reellen Ebene ist der Betrag von Determinanten zu gegebenen Matrizen gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms

In der reellen Ebene ist der Betrag von Determinanten zu gegebenen Matrizen gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Zeilen- bzw.  Spaltenvektoren aufgespannt wird.

In der reellen Ebene ist der Betrag von Determinanten zu gegebenen Matrizen gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrizen aufgespannt wird. Analog dazu geben sie im reellen 3-dimensionalen Raum das Volumen des schiefen Prismas mit Parallelogramm als Grundfläche (auch Spat genannt) an, welches von den Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix A aufgespannt wird.
Falls die Determinanten von Matrizen nicht 0 sind, so kann man die Matrizen invertieren, bzw. die linearen Abbildungen besitzen dann eindeutige Umkehrabbildungen. Außerdem ist im Fall det(A)?0 das Gleichungssystem Ax=b eindeutig lösbar. Mithilfe der Determinanten kann man in diesen Fällen Vorschriften für die Lösung des Gleichungssystems (mit der Cramer’schen Regel) bzw. für die Angabe der inversen Matrix A-1 angeben.

Weitere Eigenschaften

Aus den bereits beschriebenen (definierenden) Eigenschaften der Determinanten, folgen noch weitere, von denen ein paar hier zusammengefasst sind:

  • Wenn man zwei Zeilen oder Spalten einer Matrix vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
  • Wenn man ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) der Matrix zu einer anderen dazu addiert, ändert sich nichts an der Determinante.
  • Für die zu A transponierte Matrix AT gilt: det(A)=det(AT).
  • Für den Fall, dass man zwei Matrizen A und B miteinander multipliziert, gilt, dass das Produkt der Matrizen wiederum das Produkt der Determinanten als Determinante hat: det(A*B)=det(A)*det(B).