Vektoren sind Elemente aus dem mathematischen Teilbereich der Geometrie. Speziell ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums. Grafisch veranschaulicht wird ein Vektor v meist durch einen Pfeil, der einen Fuß und eine Spitze besitzt. Charakterisiert wird jeder Vektor durch genau zwei Eigenschaften, nämlich seine Länge und seine Richtung. Die Länge des Vektors wird auch als Betrag bezeichnet. Die Richtung des Vektors wird durch seine Koordinaten festgelegt. Im zweidimensionalen Raum spricht man von der x- und y-Koordinate, im Dreidimensionalen kommt noch die y-Koordinate hinzu. Zeichnet man nun in ein Koordinatensystem parallele Pfeile mit derselben Länge, so handelt es sich jeweils auch um denselben Vektor, da Länge und Richtung übereinstimmen.

Einfache Berechnungen

Der Betrag (=Länge) eines Vektors ist rechnerisch die Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten: |v| = sqrt (x^2 + y^2 + z^2)

Vektoren können mit anderen Vektoren addiert oder subtrahiert werden. Dabei werden die entsprechenden Koordinaten einfach addert bzw. subtrahiert. Grafisch erfolgt die Vektoradition, indem der Fuß des einen Vektors an die Spitze des anderen Vektors (parallel) verschoben wird. Verbindet man nun den freien Fuß mit der freien Spitze, so erhält man den Summenvektor.

Vektoren können mit Zahlen – sogenannten Skalaren – multiplizert werden. Dabei wird jede einzelne Vektorkoordinate mit dem Skalar multiplizert. Grafisch würde eine Multiplikation mit 2 zum Beispiel eine Verdoppelung des Betrags verursachen.

Matrizen

Ordnet man mindestens zwei Vektoren nebeneinander an, so erhält man eine Matrix. Sind dies beispielsweise zwei Vektoren aus dem 2D-Raum, spricht man von einer 2×2-Matrix (2 Zeilen und 2 Spalten). Allgemein gibt es also m x n – Matrizen mit m Zeilen und n Spalten. Mit solchen Matrizen lassen sich wiederum viele Rechenoperationen ausführen, sie können addiert und multipliziert werden.

Matrizen addieren

Die Matrizenaddition verläuft analog zur Vektoraddition, d.h. alle Elemente der Matrix A werden jeweils mit den positionsgleichen Werten der Matrix B addiert. Es können also nur Matrizen addiert werden, die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahlen aufweisen.

Matrizen multiplizieren

Die quadratische Matrix hat gleich viele Spalten wie Zahlen (m x m).

Die quadratische Matrix hat gleich viele Spalten wie Zahlen (m x m).

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ (im Gegensatz zur Multiplikation von reellen Zahlen). Eine m x r – Matrix kann nur mit einer r x n – Matrix multipliziert werden. Zur Berechnung ist das falksche Scheme sehr hilfreich. Hierbei legt man die Spalten der Matrix B durch Drehen als Zeilen über die Matrix A. Alle Elemente der Zeilen von A werden mit den Elementen der Zeilen (=Spalten) von B multipliziert, wobei die Summe dieser Einzelprodukte den Eintrag in der Ergebnismatrix m x n liefert.

Determinanten

Determinanten sind eine weitere Form der Matrizenrechnung. Eine Determinante ist eine Funktion, die einer quadratischen Matrix (m x m) einen Skalar zuordnet. Bildet man also die Determinante einer Matrix, so erhält man als Ergebnis eine Zahl.