Um zu verstehen, was Matrizenrechnung ist, muss erst einmal erläutert werden, was eine Matrix ist. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von Herrn Sylvester erfunden. Eine Matrix ist eine tabellarische Anordnung von Zahlen (Elementen). Die waagerecht verlaufenden Zahlenreihen werden dabei als Zeilen und die senkrecht verlaufenden Zahlenreihen als Spalten bezeichnet. Die Mehrzahl von Matrix lautet Matrizen. Die Zeilen und Spalten einer Matrix werden als Vektoren (bzw. als Zeilen- oder Spaltenvektoren) bezeichnet. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten hat demnach m*n Elemente. Die Matrix selber wird als A(m,n) bezeichnet. Das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte wird als a(i,j) bezeichnet.

Was ist eine Matrizenrechnung?

Matrizenrechnung ist das Rechnen mit den oben beschriebenen Matrizen. Typische Rechenoperationen sind dabei:

  • die Matrixaddition,
  • die Matrixsubtraktion,
  • die Skalar-Multiplikation
  • die etwas kompliziertere Matrixmultiplikation.

Daneben gibt es noch weitere Operationen, welche auf eine einzelne Matrix angewendet werden können. Dazu gehört z.B. die Transposition oder das Bilden der Inversen einer Matrix.

Wie wird eine Matrizenrechnung durchgeführt?

Matrixaddition / -subtraktion: Dazu müssen die beiden Matrizen dieselbe Grösse (d.h. die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten) haben. Die Entsprechenden Elemente der beiden Matrizen werden nun addiert bzw. subtrahiert. Das Ergebnis ist wiederum eine Matrix der Grösse mxn: A(m,n)+B(m, n)=C(m,n), wobei c(i,j)=a(i,j)+b(i,j).
Skalar-Multiplikation: Das ist die Multiplikation einer Matrix A(n,m) mit einer einzelnen Zahl (einem Skalar). Dazu wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Das Ergebnis ist eine Matrix der Grösse mxn: c*A(n,m)=B(n,m), wobei b(i,j)=c*a(i,j).
Matrixmultiplikation: Hier werden zwei Matrizen (A(m,n) und B(n, p)) miteinander multipliziert. Dazu muss die Matrix, welche vorne steht gleich viele Spalten haben, wie die zweite Zeilen hat. Das Resultat ist eine Matrix der Grösse mxp: A(m,n) * B(n, p) = C(m,p), wobei c(ij)= a(i,1)*b(1,j)+a(i,2)*b(2,j)+…+a(I,n)*b(n,j).
Weiter gibt es für Matrizen charakteristische Grössen. Dazu gehört zum Beispiel die Summe aller Diagonalelemente einer quadratischen Matrix, die Determinante: det(A(n, n)) = a(1,1)+a(2,2)+ … +a(n,n).

Wofür braucht man die Matrizenrechnung?

Tabellarsich angeordnete Größen lassen sich einfach in eine Matrix umschreiben und rechnerisch bearbeiten.

Tabellarsich angeordnete Größen lassen sich einfach in eine Matrix umschreiben und rechnerisch bearbeiten.

Allgemein ausgedrückt braucht man die Matrizenrechnung um lineare Zusammenhänge jeglicher Art darzustellen. Insbesondere bei linearen Abbildungen oder dem Lösen von linearen Gleichungssystemen spielt die Matrizenrechnung eine zentrale Rolle. Lineare Abbildung werden zum Beispiel bei der Programmierung von 3D Grafiken benötigt (‚Wie sieht ein Objekt aus einem anderen Blickwinkel aus?‘). Natürlich kann auch jedes Problem, wofür wir im Alltag eine Tabelle brauchen mit Matrizenrechnung bearbeitet werden.