Ein Polynom mit der Unbekannten in der zweiten Ordnung wird in der Mathematik als eine Parabel bezeichnet. Eine Parabel ist im Endeffekt wie eine Ellipse zu betrachten – von welcher die Brennpunkte im Raum in unendlicher Entfernung liegen. Zur Berechnung und Kurvendiskussion von quadratischen Funktionen reichen einfache Ableitungs- und Integrationsregeln völlig aus. Zudem zählt die Parabel – ähnlich wie der Kreis oder die Hyperbel – zu den Kegelschnitten.

Welche Arten der Quadratischen Funktion gibt es?

Die allgemeine Parabelgleichung lautet:
f(x) = a *x² + b*x + c

Betrachtet man diese allgemeine Funktionsgleichung, so stellt man fest, dass durch Variation der Parameter a, b und c die Gestalt der Parabel individuell verändert werden kann.
So bestimmt a die Öffnungsrichtung der Parabel. Ist a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet – positiv selbstverständlich nach oben. Der Faktor b und c bestimmten im Grunde genommen nur die Öffnungsbreite der Parabel und die Lage des Scheitelpunktes. Der Scheitelpunkt der Parabel hat stets eine waagrechte Tangente mit der Funktionsgleichung y = d, wobei d einen beliebigen reellen Wert annehmen kann.

Die Normalparabel

Die einfachste Form der qudratischen Funktion ist die so genannte Normalparabel. Werden die Parameter b und c gleich Null und der Parameter a gleich 1 gesetzt, so erhält man die Normalparabel. Diese besitzt die Funktionsgleichung: y = x^2
Die Normalparabel ist eine nach oben geöffnete Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems hat. Außerdem ist sie Achsensymetrisch zur y-Achse.

Die Nullstellen einer Funktion zweiter Ordnung berechnen

Die Berechnung der Nullstellen sind eine elementare Operation der Kurvendiskussion. Man nehme an es sei folgende Funktion gegeben:
y = x² -3x -2
Diese Funktion stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, da der Koeffizient a größer 0 ist. Möchte man nun die Nullstellen berechnen so lautet der Ansatz:
y=0
x²-3x-2 = 0
Diese quadratische Gleichung kann ganz einfach mit der so genannten Mitternachtsformel gerechnet werden. Diese lautet in allgemeiner Form:

X1/2 = (-b (+-) wurzel(Diskriminante))/2a

Wobei gilt: Diskriminante = b² – 4ac

X1 und x2 sind jeweils die Lösungen der quadratischen Gleichung. Es empfiehlt sich außerdem zunächst die Diskriminante der Mitternachtsformel zu bestimmen. Mit Hilfe dieser kann schon von vorneherein gesagt werden, ob die quadratische Gleichung eine Lösung besitzt.

Es werden folgende Fälle unterschieden:

Diskriminante größer als 0: Es gibt 2 Lösungen
Diskriminante kleiner als 0: Es gibt keine Lösung
Diskriminante gleich 0: Es gibt eine doppelte Lösung (Beispielsweise Hoch- oder Tiefpunkt auf der x-Achse)