Quadratische Gleichungen lösen – mit Hilfe der Mitternachtsformel und der Diskriminante kein Problem

In der Mathematik werden Gleichungen mit der Variablen in der zweiten Ordnung als quadratische Gleichungen bezeichnet. Eng damit verbunden sind auch Funktionsgleichungen von Parabeln. Auch diese enthalten die Variable in der zweiten Ordnung der Potenz.

Anwendung der Mitternachtsformel auf eine quadratische Gleichung

Angenommen man hat eine quadratische Gleichung vorliegen die folgendermaßen aussieht:
-2x² + 6x – 3 = 0

Dies ist eine herkömmliche quadratische Gleichung. Man könnte diese quadratische Gleichung auch als Parabelgleichung interpretieren. Man berechnet also die Nullstellen einer Parabelfunktion. Diese Parabel ist nach unten geöffnet, weil der Koeffizient vorm Polynom 2. Grades ein negatives Vorzeichen aufweist.
Bei der Lösung dieser Gleichung kommt nun die so genannte Mitternachtsformel ins Spiel. Diese Formel kann immer zur Lösung von quadratischen Funktionen angewandt werden. Die Mitternachtsformel lautet allgemein:
X1/2 = (-b (+-) Wurzel(Diskriminante)) / 2a

Die Koeffizienten a, b und c beziehen sich auf die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung bzw. Parabelgleichung:
f(x) = a *x² + b*x + c

Die Diskriminante steht hier bei der Mitternachtsformel im Zähler unter der Wurzel. Mit Hilfe der Diskriminante kann man bereits anfangs darauf schließen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. Die Diskriminante gehorcht allgemein auf folgende Formel:
Diskrim. = b² – 4ac
Es empfiehlt sich daher immer bei der Lösung einer quadratischen Gleichung zunächst die Diskriminante zu berechnen. Hierbei werden folgende Fälle unterschieden:
Die Diskriminante ist …

  • gleich 0: eine doppelte Lösung
  • kleiner Null: keine Lösung
  • größer Null: zwei einfache Lösungen

So kann ganz einfach zu Beginn schon ausgeschlossen werden, dass die quadratische Gleichung z.B. keine Lösung hat. Eine doppelte Lösung tritt immer dann auf, wenn der Diskriminantenwert gleich Null ist. Eine solche doppelte Lösung kann geometrisch als Scheitelpunkt der Parabelfunktion auf der Abszisse – also der x-Achse – interpretiert werden.

Die Diskriminante kann auch für Funktionen höheren Grades eingesetzt werden. Beispielsweise können kubische Gleichungen oder Funktionen mit Polynomen noch höheren Grades berechnet werden. Hierbei gibt es auch Formeln in Formelsammlungen, welche bereits die Fertige Berechnungsgleichung für die Diskriminante enthalten. Hergeleitet wurden diese meist aus der allgemeinen Form der Polynomfunktion und der allgemeinen Diskriminantenform. Mit Hilfe quadratischer Ergänzung und der Anwendung vom Satz des Vieta werden diese in die herkömmliche Form überführt, mit der ganz einfach durch Einsetzen der jeweiligen Koeffizienten der Diskriminantenwert bestimmt werden kann.

Wer eine Funktion höheren Grades hat kann beispielsweise auch eine Substitution machen. Durch diese Substitution werden Polynome, die höheren Grades als zwei sind in ein Polynom zweiten Grades substituiert. So kann ganz einfach die Mitternachtsformel angewandt werden. Durch anschließende Rücksubstitution erlangt man dann die restlichen Lösungen.