Quadratische Gleichungen schnell und unkompliziert lösen – mit der Mitternachtsformel kein Problem

Quadratische Gleichungen finden in der Mathematik vor allem bei der Kurvendiskussion von Parabelfunktionen oder Funktionen mit Polynom 3. Grades eine Rolle. Denn die Ableitung – also das Differential – einer Funktion 3. Grades ergibt eine Funktion 2. Grades, also eine quadratische Gleichung. Die Lösung der Quadratischen Gleichungen wird im allgemeinen mit der Mitternachtsformel gelöst. Eine andere Methode wäre noch die Polynomdivision.

Die allgemeine Form von quadratischen Gleichungen und die Anwendung der Mitternachtsformel

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
0 = a *x² + b*x + c
Wobei die Parameter a, b und c beliebige Werte annehmen können. Möchte man nun solch eine quadratische Gleichung lösen, so muss man sich der Mitternachtsformel bedienen. Diese lautet in allgemeiner Form wie folgt:

X1/2 = (-b (+-) Wurzel(D)) / 2a

Wobei D für Diskriminante steht – von ihr wird also die Quadratwurzel gezogen. Die Diskriminante selbst berechnet sich aus:
D = b² – 4ac
Mit Hilfe der Diskriminante kann sofort eine Aussage darüber getroffen werden, ob und wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. Deshalb sollte vor dem Berechnen der gesamten Mitternachtsformel die Diskriminante aus den Parametern der Gleichung bestimmt werden.
Hierbei können folgende Fälle unterschieden werden:

  • Diskriminante ist größer 0: Es liegen 2 eindeutige Lösungen vor.
  • Diskriminante ist kleiner 0: Es liegt keine Lösung vor.
  • Diskriminante ist gleich 0: Es liegt eine doppelte Lösung vor.


Hat man also eine Diskriminante die kleiner als Null ist, kann man sich den weiteren Rechenwert zur Auflösung der Mitternachtsformel gleich sparen, denn dann hat die Gleichung keine Lösungsmenge.

Interpretation der Nullstellen einer quadratischen Gleichung – Beispiele

Die Anwendung zur Bestimmung der Nullstellen von quadratischen Gleichungen ist sehr vielseitig. Beispielsweise kann die Nullstelle einer Parabel berechnet werden. Liegt nun eine Ableitungsfunktion 2. Grades vor, so können durch Nullsetzen dieser die Extrema dieser Funktion bestimmt werden. Also im Klartext, wo hat die Funktion etwaige Hoch-, Tief- oder Wendepunkte. Dabei dient die erste Ableitungsfunktion nur der Analyse über das Vorhandensein von Extrempunkten. Die eindeutige Spezifikation und Art des Extrempunkts kann nur mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmt werden.

Auch in der Technik kommt bei Problemen in der jeweiligen Anwendung oftmals eine quadratische Gleichung zur Beschreibung des Sachverhaltes heraus. Oftmals kann auch durch Substitution aus einer anfangs komplizierten Gleichung, eine quadratische Gleichung substituiert werden. Deren Lösungen können anschließend auch ganz simpel mit der Mitternachtsformel berechnet werden.