Die Normalform der quadratische Gleichungen

Es handelt sich um eine Gleichung vom Typ ax²+bx+c=0. In der quadratische Gleichungen ist a ungleich 0.
A, b, c sind Koeffizienten und x ist die Unbekannte. Die linke Seite der quadratische Gleichungen ist ein Polynom zweiten Grades.
Die quadratische Gleichungen führt zu einer Funktion in der Form einer Parabel: F(x)=ax²+bx+c. Wird diese Gleichung null gesetzt, also die quadratische Gleichungen aufgelöst, werden die Nullstellen der Funktion berechnet. Graphisch bedeutete das, dass die Punkte auf der X-Achse eingezeichnet werden.

Die reinquadratische Gleichung ergibt sich, wenn b=0 ist: ax²=0.
Es gibt die Gleichung auch in der Form: ax²+bx=0

Die Lösung der reinquadratischen Gleichung

Die Form x²=0 wird umgeformt, so dass die Wurzel gezogen wird und das Ergebnis in zwei Lösungen vorliegt. Zwei Lösungen ergeben sich daraus, dass die Potenzierung mit 2, sowohl für positive Zahlen, wie auch für negative Zahlen, funktionierende Ergebnisse bringt.
Beispiel: x²=25. Um nach x aufzulösen wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.
Die Wurzel aus x² ist x. Die Wurzel aus 25 ist 5. Die Lösung ist also 5. Es ergibt sich aber nun, dass sowohl +5, wie auch-5 mit 2 potenziert 25 ergibt. Somit ergeben die Werte +5 und -5 die Lösung der quadratische Gleichungen: x²=25.
Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen.

Die Lösung der Gleichung: ax²+bx=0

Im ersten Schritt wird x ausgeklammert: x(ax+b)=0. Nun wird x=0 gesetzt. Das Glied ax fällt weg. Das Glied b wird auf die andere Seite durch Subtraktion gebracht. Dann wird der Koeffizient a durch Division auf die andere Seite gebracht. Das Ergebnis liegt nun vor: -b/a. Da x=0 gesetzt wurde, wurde die ganze Gleichung Null. Das heißt, dass das zweite Ergebnis 0 ist. Beispiel: 2x²+4x=0. X wird nun ausgeklammert. X(2x+4)=0. Jetzt wird x=0 gesetzt. Die Gleichung wird null, da x*(x+4)=0 ist. Die erste Lösung ist 0. Die zweite Lösung ergibt sich durch umformen der Gleichung 2x+4=0. 4 wird auf beiden Seiten abgezogen. 2x+4-4=0-4. Das ergibt: 2x=-4. Nun werden beide Seiten durch 2 geteilt. Das ergibt: 2x/2=-4/2. Die zweite Lösung ist dann -2.

Die Lösung der Normalform der quadratische Gleichungen

ax²+bx+c=0
Hierzu kann die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, genutzt werden.
Sie ist für die Lösungen x1 und x2: -b+- die Wurzel aus b²-4ac/2a. Bei 2x²+4x+3 ergibt das: -4+-Wurzel aus 4²-4*2*3/2*2.
Lösung:-4+- 16-24/4. Für den Fall: -4+16-24=-12/4= x1=-3. Für den Fall: -4-16-24=-44/4=x2=-11.
Die Lösung mit der pq-Formel. Die Normalformel wird nun x²+px+q geschrieben und umgeformt: x1,2=-p/2+-Wurzel aus (p/2)²-q. Der Term im Wurzelzeichen heißt Diskriminante. Für die Gleichung 2x²+4x+3 ergibt sich, dass p=4 ist und q=3.
Aufgelöst ergibt sich für x1: -4/2+Wurzel(4/2)²-3: -2+4-3. Das ergibt: -2+1: x1=-1. Für x2= -2+4-3=-2+1=x2=-1.