Polynome sind mathematische Funktionen dieser Machart:

f(x) = a.x<i>n</i> + b.x<i>(n-1)</i> + c.x<i>(n-2)</i> + …… + r.x + s

a, b, c usw. sind beliebige Faktoren (auch Kooffizienten genannt), die kursiv dargestellten n, n-1, n-2 usw. sind Exponenten und das s ist eine beliebige Konstante. Es handelt sich in diesem Fall um ein Polynom n-ten Grades. Ein etwas anschaulicheres Beispiel wäre:

f(x) = 1,5.x<i>3</i> – 6x +7

Bei diesem Polynom dritten Grades fehlt das quadratische Glied. Man könnte auch sagen, der Faktor für das quadratische Glied ist gleich null.

Anschaulich verhält es sich so, dass die Polynome im Diagramm ein typisches Verhalten zeigen, quasi eine wellenförmige Bewegung vollziehen mit sehr unterschiedlichen Amplituden. Dabei hat ein Polynom n-ten Grades maximal (n-1) Minima und Maxima.

Es können auch Funktionen konstruiert werden, die sozusagen einen Quotienten aus Polynomen darstellen. Wenn der Grad des Zähler-Polynoms größer ist als der Grad des Nenner-Polynoms, dann bietet es sich zur Vereinfachung an, eine Polynomdivision durchzuführen.

Beispiel für eine Polynomdivision

f(x) = {6.x<i>3</i> + 11.x<i>2</i> – 8.x + 5} / (3.x<i>2</i> – 2.x + 1) = 2.x + 5

Man braucht im Grunde nur sehr konsequent die Divisionsregeln beachten, so wie sie auch für Zahlen gelten, dann kann man dieses Ergebnis nachvollziehen, oder man mache bitte die Multiplikations-Probe. Das Beispiel zeigt, dass ein Polynom dritten Grades dividiert wird durch ein Polynom zweiten Grades; und ein Polynom ersten Grades (3-2=1) kommt dabei heraus. Ganz allgemein gilt also für n größer k:

Grad des Zählerpolynoms = z
Grad des Nennerpolynoms = n
Grad der resultierenden Funktion: z-n

Im Übrigen ist ein Polynom ersten Grades eine Geradengleichung, und jenes zweiten Grades, also eine quadratische Gleichung wird als Parabel bezeichnet, die ein Maximum (bei negativem Kooffizienten) bzw. ein Minimum bei positivem Vorfaktor hat. Diese speziellen Punkte der Parabel werden auch als Scheitelpunkt bezeichnet.

Bei der so genannten Mitternachtsformel geht es um die Bestimmung der Nullstellen der allgemeinen Parabel bzw. der quadratischen Gleichung:

f(x) = a.x<i>2</i> + b.x + c = 0

denn eine Parabel kreuzt prinzipiell zweimal die X-Axhse des Diagramms. Das Ergebnis für die beiden X-Positionen lautet dann:

X1 und X2 = -b +/- Wurzel(b<i>2</i> – 4.a.c)/(2.a)

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird als Diskriminante D bezeichnet. Sie ist sozusagen verantwortlich dafür, wo sich die Parabel im Diagramm befindet.
Bei D größer 0 ist der Scheitelpunkt unterhalb der X-Achse.
Bei D kleiner 0 ist der Scheitelpunkt oberhalb der X-Achse.
Bei D = 0 befindet sich der Scheitelpunkt direkt auf der X-Achse und ist zugleich die einzige Nullstelle der Funktion