In der Regel versteht man unter Parallelen zwei Geraden die exakt ‚nebeneinander’ verlaufen, bzw. die dieselbe Richtung haben. Je nachdem, in welchem Koordinatensystem man sich bewegt, gibt es unterschiedliche Definitionen für diesen Sachverhalt. Wenig aussagekräftig, aber dennoch Standard ist die Aussage, dass eine Gerade immer zu sich selbst parallel ist.

Euklidischer zweidimensionaler Raum

In der üblichen, zweidimensionalen (Schul-)Geometrie sind Parallelen Geraden, welche dieselbe Steigung besitzen. Betrachtet man die übliche Form einer Geradengleichung y = mx+n, so steht das m für die Steigung, das n für den y-Achsenabschnitt. Dann sind die Geraden y = 2x+4 und y = 4x+2 nicht parallel, die Geraden y = 2x+4 und y = 2x+5 jedoch sind es. In der euklidischen Geometrie (der zwei- sowohl wie dreidimensionalen) sagt man auch, dass zwei Geraden parallel sind, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden.

Beispiele sind unter anderem

  • die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks
  • die jeweils gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms
  • im kartesischen Koordinatensystem die x-Achse und jede Gerade der Form y = a, wobei a eine beliebige Zahl ist
  • im kartesischen Koordinatensystem die y-Achse und jede Gerade der Form x = b, wobei b eine beliebige Zahl ist

Euklidischer dreidimensionaler Raum

Im dreidimensionalen Raum hat eine Gerade üblicherweise die Darstellung p = a+?*v, wobei p, a und v Vektoren bezeichnen und ? eine Zahl ist. a steht für den Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und v ist der Richtungsvektor der Geraden. Sind die Richtungsvektoren von zwei Geraden linear abhängig (das bedeutet, dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist), so sind die Geraden Parallelen. Im dreidimensionalen Raum liegen zwei Parallelen in einer Ebene und schneiden sich nicht. Es gibt auch Geraden, die sich nicht schneiden und in unterschiedlichen Ebenen liegen, diese werden windschief genannt.

Das Parallelenaxiom

In der euklidischen Geometrie gilt der Grundsatz des Parallelenaxioms, welches der Theorie zugrunde liegt und nicht bewiesen werden kann. Das Parallelenaxiom besagt, dass es in jeder Ebene zu einer gegebenen Geraden und einem beliebigen Punkt, der nicht auf der gegebenen Geraden liegt, genau eine andere Gerade gibt, die durch den gegebenen Punkt verläuft und parallel zur gegebenen Geraden ist. Dieses Axiom ist gleichbedeutend mit vielen anderen Aussagen, z. B. damit, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, oder mit der Tatsache, dass Rechtecke existieren.

Projektive Geometrie

In der projektiven Geometrie, die in der Regel an Schulen nicht behandelt wird, gibt es keine Parallelen. Hier wird nämlich zu jeder Klasse von ‚üblicherweise’ parallelen Geraden ein sogenannter ‚unendlich ferner’ Punkt definiert, in dem sich die Parallelen schneiden. Die umgangssprachliche Formulierung ‚Parallelen schneiden sich im Unendlichen’ ist also für die projektive Geometrie ein Grundsatz der Theorie.