Funktionen mit gebrochenrationalen Termen integrieren – mit der Polynomdivision kein Problem

Die Polynomdivision – gerne auch Partialdivision genannt – ist im Grunde genommen nichts anderes als die herkömmliche schriftliche Division von Zahlen. Nur liegen bei der Polynomdivision keine Zahlen vor, sondern Polynome. Dieses Rechenverfahren wird meist angewendet um Probleme der Kurvendiskussion wie Geometrie oder Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Außerdem kann man durch Polynomdivision auch die Ableitungsfunktion einer Funktion bestimmen, damit entfallen dann die Ableitungsregeln.

Die Linearfaktoren bei der Polynomdivision

Angenommen es sei eine Funktion mit Polynom 3. Grades gegeben, von welcher die Nullstellen auch mit Ausklammern nicht bestimmt werden können. Hier kommt dann die Polynomdivision ins Spiel. Durch Probieren kann man eine Nullstelle der Funktion leicht bestimmen. Hat man diese gefunden, so kann mit Hilfe dieser Nullstelle ein so genannter Linearfaktor gebildet werden. Dieser hat folgende Gestalt:
(x – x0), wobei x0 die Nullstelle darstellt.
Anschließend kann mit Hilfe diesen Linearfaktors die Ausgangsfunktion in eine Funktion 2. Grades, durch Polynomdvision zerlegt werden. Und genau dieser Term 2. Grades kann anschließend ganz einfach mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen – auch als Mitternachtsformel bekannt – gelöst werden.

Die Berechnung der Nullstellen als fundamentale Operation in der Kurvendiskussion

Wie bereits erwähnt dient die Polynomdivision vorwiegend zur Bestimmung von Nullstellen von Termen höheren Grades. Nullstellen spielen vor allem in der Kurvendiskussion eine große Rolle. So können zum Beispiel die Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion dadurch bestimmt werden, dass die Nennernullstellen mit Hilfe der Polynomdivision berechnet werden. Durch Zerlegung der Nennerfunktion in ihre Linearfaktoren können außerdem solche komplizierten gebrochenrationalen Funktionen relativ einfach integriert werden.
Diese Methode nennt sich dann die Partialbruchzerlegung. Hier wird die gebrochenrationale Funktion in Partialbrüche zerlegt, die mit Hilfe der Zerlegung der Nennerfunktion in Linearfaktoren erreicht wird.
Sieht die zerlegte Nennerfunktion beispielsweise so aus:

(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) so können diese 3 Linearfaktoren aufgeteilt werden.

Dies sieht wie folgt aus:

D/(x-x1) + E/(x-x2) + F/(x-x3) Diese 3 Brüche nennt man nun Partialbrüche.

Anschließend werden die Partialbrüche auf einen Hauptnenner gebracht. Danach können die Zähler aus Partialbruchzerlegung und gebrochenrationaler Funktion gleichgesetzt werden. So kann durch einen Koeffizientenvergleich ganz einfach der Wert der Konstanten D, E und F ermittelt werden. Auch ein einsetzen von sinnvollen x-Werten – wie beispielsweise den Nullstellen – kann schnell zum Ergebnis führen. Nach erfolgter Partialbruchzerlegung können nun alle Partialbrüche einzeln relativ einfach integriert werden.